【題目】如圖,已知在矩形ABCD中,AB=a,BC=b,點(diǎn)E是線段AD邊上的任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn)A、D),連接BE、CE.

若a=5,sin∠ACB= ,解答下列問題:
(1)填空:b=;
(2)當(dāng)BE⊥AC時(shí),求出此時(shí)AE的長(zhǎng);
(3)設(shè)AE=x,試探索點(diǎn)E在線段AD上運(yùn)動(dòng)過程中,使得△ABE與△BCE相似時(shí),請(qǐng)寫x、a、b三者的關(guān)系式.

【答案】
(1)12
(2)

解:∵BE⊥AC,

∴∠EBC+∠ACB=90°

又∵∠ABE+∠EBC=90°,

∴∠ABE=∠ACB,

又∵∠BAE=∠ABC=90°,

∴△AEB∽△BAC,

= ,

= ,

∴AE=


(3)

解:∵點(diǎn)E在線段AD上的任一點(diǎn),且不與A、D重合,

∴當(dāng)△ABE與△BCE相似時(shí),則∠BEC=90°,

①當(dāng)△ABE∽△EBC時(shí),∠ABE=∠EBC=45°,

∴△EBC是等腰直角三角形,

BC= BE,BE= AB,

∴BC=2AB,即b=2a,x=a或x= b.

②當(dāng)△BAE∽△CEB

∴∠ABE=∠BCE,

又∵BC∥AD,

∴∠DEC=∠BCE,

∴∠ABE=∠DEC,

又∵∠BAE=∠EDC=90°,

∴△BAE∽△EDC,

= ,

= ,

∴x2﹣bx+a2=0,

即(x﹣ )2= ,

當(dāng)b2﹣4a2≥0,

∵a>0,b>0,

∴b≥2a,

即b≥2a時(shí),x=

綜上所述:當(dāng)a、b滿足條件b=2a時(shí)△BAE∽△CEB,此時(shí)x= b(或x=a);當(dāng)a、b滿足條件b>2a時(shí)△BAE∽△CEB,此時(shí)x=


【解析】解:(1)∵在矩形ABCD中,
∴∠ABC=90°,
∵AB=a=5,sin∠ACB= ,
= ,
∴AC=13,
∴BC= =12,
∴b=12;
所以答案是:12;
【考點(diǎn)精析】利用相似三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形;相似三角形的判定方法:兩角對(duì)應(yīng)相等,兩三角形相似(ASA);直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似; 兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等,兩三角形相似(SAS);三邊對(duì)應(yīng)成比例,兩三角形相似(SSS).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2)寫出不等式ax2+bx+c<0的解集;
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x

﹣2

﹣1

0

1

2

y

0

﹣4

﹣4

0

8


(1)根據(jù)上表填空; ①方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根分別是
②拋物線經(jīng)過點(diǎn)(﹣3,);
③在對(duì)稱軸左側(cè),y隨x增大而
(2)求拋物線y=ax2+bx+c的解析式.

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