Question

【題目】如圖，在矩形OABC中，OA＝8，OC＝4，OA、OC分別在x軸與y軸上，D為OA上一點(diǎn)，且CD＝AD．

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）若經(jīng)過(guò)B、C、D三點(diǎn)的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）在（2）中的拋物線上位于x軸上方的部分，是否存在一點(diǎn)P，使△PBC的面積等于梯形DCBE的面積？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）D（3，0）；（2）E（5，0）；（3）不存在

【解析】

（1）設(shè)OD＝x，則AD＝CD＝8－x ，在Rt△OCD中，根據(jù)勾股定理即可列方程求解；

（2）由題意知，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝4，根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性即可求得結(jié)果；

（3）若存在這樣的P，則由S梯形＝20得S△PBC＝·BC·h＝20可求得h＝5，根據(jù)待定系數(shù)法求得拋物線函數(shù)關(guān)系式，從而得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到頂點(diǎn)到BC的距離為4＋＝＜5，即可作出判斷.

（1）設(shè)OD＝x，則AD＝CD＝8－x

Rt△OCD中，(8－x)2＝x2＋42，得x＝3

∴OD＝3

∴D（3，0）

（2）由題意知，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝4

∵D（3，0）， ∴另一交點(diǎn)E（5，0）

（3）若存在這樣的P，則由S梯形＝20得S△PBC＝·BC·h＝20．

∴h＝5

∵B（8，－4）， C（0，－4）， D（3，0）

∴該拋物線函數(shù)關(guān)系式為：y＝－x2＋x－4．

頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，）

∴頂點(diǎn)到BC的距離為4＋＝＜5

∴不存在這樣的點(diǎn)P， 使得△PBC的面積等于梯形DCBE的面積．