【題目】在圓O中,弦AB與CD相交于點(diǎn)E,且弧AC與弧BD相等.點(diǎn)D在劣弧AB上,聯(lián)結(jié)CO并延長(zhǎng)交線段AB于點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)OA、OB.當(dāng)OA=,且tan∠OAB=.
(1)求弦CD的長(zhǎng);
(2)如果△AOF是直角三角形,求線段EF的長(zhǎng);
(3)如果S△CEF=4S△BOF,求線段AF的長(zhǎng).
【答案】(1)4;(2)或;(3)2+
【解析】
(1)如圖,過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H,由銳角三角函數(shù)可求OH=1,AH=2,由垂徑定理可得AB=4,即可求CD=4
(2)分兩種情況討論,由相似三角形的性質(zhì)可求解;
(3)先利用面積關(guān)系得出,進(jìn)而利用△OAF∽△EFC得出比例式,即可得出結(jié)論.
解:(1)如圖,過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H,
∵tan∠OAB=,
∴設(shè)OH=a,AH=2a,
∵AO2=OH2+AH2=5,
∴a=1,
∴OH=1,AH=2,
∵OH⊥AB,
∴AB=2AH=4,
∵弧AC=弧BD
∴,
∴AB=CD=4;
(2)∵OA=OB,
∴∠OAF=∠OBA,
∴∠OAF=∠ECF,
①當(dāng)∠AFO=90°時(shí),
∵OA=,tan∠OBA=,
∴OC=OA=,OF=1,AB=4,
∴EF=CFtan∠ECF=CFtan∠OBA=;
②當(dāng)∠AOF=90°時(shí),
∵OA=OB,
∴∠OAF=∠OBA,
∴tan∠OAF=tan∠OBA=,
∵OA=,
∴OF=OAtan∠OAF=,
∴AF=,
∵∠OAF=∠OBA=∠ECF,∠OFA=∠EFC,
∴△OFA∽△EFC,
∴,
∴EF=,
即:EF=或;
(3)如圖,連接OE,
∵∠ECB=∠EBC,
∴CE=EB,
∵OE=OE,OB=OC,
∴△OEC≌△OEB,
∴S△OEC=S△OEB,
∵S△CEF=4S△BOF,
∴S△CEO+S△EOF=4(S△BOE﹣S△EOF),
∴,
∴,
∴FO=,
∵△OFA∽△EFC,
∴,
∴BF=BE﹣EF=CE﹣EF=EF,
∴AF=AB﹣BF=4﹣EF,
∵△OAF∽△EFC,
∴,
∴,
∴EF=3﹣,
∴AF=4﹣EF=2+.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知⊙O為△ABC的外接圓,AC為直徑,且AC=2.
(1)用尺規(guī)作圖作出∠ABE=45°,與弧AC交于E點(diǎn)(保留作圖痕跡,不寫(xiě)作法);
(2)若∠A=30°,求BE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】A、B兩地之間有一修理廠C,一日小海和王陸分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行,王陸開(kāi)車(chē),小海騎摩托.二人相遇時(shí)小海的摩托車(chē)突然出故障無(wú)法前行,王陸決定將小海和摩托車(chē)一起送回到修理廠C后再繼續(xù)按原路前行,王陸到達(dá)A地后立即返回B地,到B地后不再繼續(xù)前行,等待小海前來(lái)(裝載摩托車(chē)時(shí)間和掉頭時(shí)間忽略不計(jì)),整個(gè)行駛過(guò)程中王陸速度不變,而小海在修理廠花了十分鐘修好摩托車(chē),為了趕時(shí)間,提速前往目的地B,小海到達(dá)B地后也結(jié)束行程,若圖象表示的是小海與王陸二人到修理廠C的距離和y(km)與小海出行時(shí)間之間x(h)的關(guān)系,則當(dāng)王陸第二次與小海在行駛中相遇時(shí),小海離目的地B還有_____km.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2019 年3月16日,由中國(guó)科協(xié)主辦的第六屆全國(guó)青年科普創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)暨作品大賽啟動(dòng),重點(diǎn)圍繞“智能、環(huán)保、教育”三大主題,某中學(xué)派出甲、乙兩組隊(duì)伍參加本次大賽,有四個(gè)命題供他們選擇:
①智能:智能控制及人工智能命題(用表示)
②環(huán)保:包括生物環(huán)境、風(fēng)能兩個(gè)命題(分別用表示)
③教育:未來(lái)教育命題(用表示)
甲組隊(duì)伍在四個(gè)命題中隨機(jī)選取一個(gè)報(bào)名 ,恰好選擇“教育”主題的概率是多少?
若甲,乙兩組隊(duì)伍各隨機(jī)從四個(gè)命題中選--個(gè)報(bào)名.請(qǐng)用樹(shù)狀圖法或列表法求出他們都選擇“環(huán)!敝黝}的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖①在中,若點(diǎn)在邊上,且則點(diǎn)定義為的邊上的“金點(diǎn)”.
已知點(diǎn)是的邊上的“金點(diǎn)”:
①若則的長(zhǎng)為 _;
②若則的長(zhǎng)為 _;
在圖①中,若點(diǎn)是的邊的中點(diǎn),試判斷點(diǎn)是不是的“金
點(diǎn)”,并說(shuō)明理由;
如圖②,已知點(diǎn)為同一直線上三點(diǎn),且在所在直線上是否存在一點(diǎn)使點(diǎn)中的某一點(diǎn)是其余三點(diǎn)圍成的三角形的“金點(diǎn)”.若存在,求出線段的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E.F分別在邊AB.BC上,且AE=BF=1,CE.DF交于點(diǎn)O.下列結(jié)論:①∠DOC=90°,②OC=OE,③tan∠OCD=,④S△ODC=S四邊形BEOF中,正確的有_______________________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,按以下步驟作圖:①以A為圓心,任意長(zhǎng)為半徑作弧,分別交AB,AD于點(diǎn)M,N;②分別以M,N為圓心,以大于MN的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧相交于點(diǎn)P;③作AP射線,交邊CD于點(diǎn)Q,若DQ=2QC,BC=3,則平行四邊形ABCD周長(zhǎng)為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=-x2-bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,點(diǎn)B(1,0)和點(diǎn)C(0,3).點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn).
(1)求二次函數(shù)的解析式和點(diǎn)D的坐標(biāo)
(2)直線y=kx+n(k≠0)與拋物線交于點(diǎn)M,N,當(dāng)△CMN的面積被y軸平分時(shí),求k和n應(yīng)滿(mǎn)足的條件
(3)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)E,將拋物線向下平移m(m>0)個(gè)單位,平移后拋物線與y軸交于點(diǎn)C′,連接DC′,OD,是否存在OD平分∠C′DE的情況?若存在,求出m的值;若不薦在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為軸于點(diǎn),反比例函數(shù)的圖像的一支分別交于點(diǎn),延長(zhǎng)交反比例函數(shù)的圖像的另一支于點(diǎn)E,已知D的縱坐標(biāo)為.
(1)求反比例函數(shù)的解析式及直線OA的解析式;
(2)連接BC,已知,求
(3)若在軸上有兩點(diǎn),將直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn),仍與交于,能否構(gòu)成以為頂點(diǎn)的四邊形為菱形,如果能請(qǐng)求出的值,如果不能說(shuō)明理由.
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