Question

【題目】（課題研究）旋轉(zhuǎn)圖形中對(duì)應(yīng)線(xiàn)段所在直線(xiàn)的夾角（小于等于的角）與旋轉(zhuǎn)角的關(guān)系．

（問(wèn)題初探）線(xiàn)段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線(xiàn)段，其中點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)，點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為，且．

（1）如圖（1）當(dāng)時(shí)，線(xiàn)段、所在直線(xiàn)夾角為______．

（2）如圖（2）當(dāng)時(shí)，線(xiàn)段、所在直線(xiàn)夾角為_____．

（3）如圖（3），當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與直線(xiàn)夾角與旋轉(zhuǎn)角存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（形成結(jié)論）旋轉(zhuǎn)圖形中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角小于平角時(shí)，對(duì)應(yīng)線(xiàn)段所在直線(xiàn)的夾角與旋轉(zhuǎn)角_____．

（運(yùn)用拓廣）運(yùn)用所形成的結(jié)論求解下面的問(wèn)題：

（4）如圖（4），四邊形中，，，，，，試求的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）60°；（3）互補(bǔ)，理由見(jiàn)解析；相等或互補(bǔ)；（4）.

【解析】

（1）通過(guò)作輔助線(xiàn)如圖1，延長(zhǎng)DC交AB于F，交BO于E，可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到AB=CD，OA=OC，BO=DO，證明△AOB≌△COD，進(jìn)而求得∠B=∠D得∠BFE=∠EOD=90°

（2）通過(guò)作輔助線(xiàn)如圖2，延長(zhǎng)DC交AB于F，交BO于E，同（1）得∠BFE=∠EOD=60°

（3）通過(guò)作輔助線(xiàn)如圖3，直線(xiàn)與直線(xiàn)所夾的銳角與旋轉(zhuǎn)角互補(bǔ)， 延長(zhǎng)，交于點(diǎn)通過(guò)證明得，再通過(guò)平角的定義和四邊形內(nèi)角和定理，證得；

形成結(jié)論：通過(guò)問(wèn)題（1）（2）（3）可以總結(jié)出旋轉(zhuǎn)圖形中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角小于平角時(shí)，對(duì)應(yīng)線(xiàn)段所在直線(xiàn)的夾角與旋轉(zhuǎn)角相等或互補(bǔ)；

（4）通過(guò)作輔助線(xiàn)如圖：將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得與重合，得到，連接，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，可得，進(jìn)一步得到△BDF是等邊三角形，，再利用勾股定理求得.

（1）解：（1）如圖1，延長(zhǎng)DC交AB于F，交BO于E，

∵α=90°
∴∠BOD=90°
∵線(xiàn)段AB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線(xiàn)段CD，
∴AB=CD，OA=OC，BO=DO
∴△AOB≌△COD（SSS）
∴∠B=∠D
∵∠B=∠D，∠OED=∠BEF
∴∠BFE=∠EOD=90°
故答案為：90°
（2）如圖2，延長(zhǎng)DC交AB于F，交BO于E，

∵α=60°
∴∠BOD=60°
∵線(xiàn)段AB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線(xiàn)段CD，
∴AB=CD，OA=OC，BO=DO
∴△AOB≌△COD（SSS）
∴∠B=∠D
∵∠B=∠D，∠OED=∠BEF
∴∠BFE=∠EOD=60°
故答案為：60°

（3）直線(xiàn)與直線(xiàn)所夾的銳角與旋轉(zhuǎn)角互補(bǔ)，

延長(zhǎng)，交于點(diǎn)

∵線(xiàn)段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線(xiàn)段，

∴，，

∴

∴

∴

∵

∴

∴

∴直線(xiàn)與直線(xiàn)所夾的銳角與旋轉(zhuǎn)角互補(bǔ)；

形成結(jié)論：旋轉(zhuǎn)圖形中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角小于平角時(shí)，對(duì)應(yīng)線(xiàn)段所在直線(xiàn)的夾角與旋轉(zhuǎn)角相等或互補(bǔ)；

（4）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得與重合，得到，連接，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，

∴旋轉(zhuǎn)角為，

∴，，，

∴△BDF是等邊三角形，

∵，，

∴，

∴.