Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，其頂點(diǎn)記為，自變量和對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等．若點(diǎn)在直線：上，點(diǎn)在拋物線上．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）設(shè)對(duì)稱軸右側(cè)軸上方的圖象上任一點(diǎn)為，在軸上有一點(diǎn)，試比較銳角與的大�。ú槐刈C明），并寫出相應(yīng)的點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍；

（3）直線與拋物線另一點(diǎn)記為，為線段上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與重合）．設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，過作軸于點(diǎn)，將以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形的面積表示為的函數(shù)，標(biāo)出自變量的取值范圍，并求出可能取得的最大值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=4x2﹣16x+8；（2）當(dāng)x=時(shí)，∠PCO=∠ACO，當(dāng)2+＜x＜時(shí)，∠PCO＜∠ACO，當(dāng)＜x＜4時(shí)，∠PCO＞∠ACO；（3）祥見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)已知條件得到拋物線的對(duì)稱軸為x=2．設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣2）2﹣8．將（3，﹣4）代入得拋物線的解析式為y=4（x﹣2）2﹣8，即可得到結(jié)論；

（2）由題意得：C（0，8），M（2，﹣8），如圖，當(dāng)∠PCO=∠ACO時(shí)，過P作PH⊥y軸于H，設(shè)CP的延長(zhǎng)線交x軸于D，則△ACD是等腰三角形，于是得到OD=OA= ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到x= ，過C作CE∥x軸交拋物線與E，則CE=4，設(shè)拋物線與x軸交于F，B，則B（2+ ，0），于是得到結(jié)論；

（3）解方程組得到D（﹣1，28得到Q（t，﹣12t+16）（﹣1≤t＜2），①當(dāng)﹣1≤t＜0時(shí)，②當(dāng)0＜t＜ 時(shí)，③當(dāng)＜t＜2時(shí)，求得二次函數(shù)的解析式即可得到結(jié)論．

試題解析：（1）∵自變量x=﹣1和x=5對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，∴拋物線的對(duì)稱軸為x=2．

∵點(diǎn)M在直線l：y=﹣12x+16上，∴yM=﹣8．

設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣2）2﹣8．將（3，﹣4）代入得：a﹣8=﹣4，解得：a=4．

∴拋物線的解析式為y=4（x﹣2）2﹣8，整理得：y=4x2﹣16x+8．

（2）由題意得：C（0，8），M（2，﹣8），

如圖，當(dāng)∠PCO=∠ACO時(shí)，過P作PH⊥y軸于H，設(shè)CP的延長(zhǎng)線交x軸于D，則△ACD是等腰三角形，

∴OD=OA= ，∵P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x，∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4x2﹣16x+8，

∵PH∥OD，∴△CHP∽△COD，∴ ，∴x=，

過C作CE∥x軸交拋物線與E，則CE=4，

設(shè)拋物線與x軸交于F，B，則B（2+ ，0），∴y=ax2+bx+c對(duì)稱軸右側(cè)x軸上方的圖象上任一點(diǎn)為P，

∴當(dāng)x=時(shí)，∠PCO=∠ACO，

當(dāng)2+＜x＜時(shí)，∠PCO＜∠ACO，

當(dāng)＜x＜4時(shí)，∠PCO＞∠ACO；

（3）解方程組 ，解得： ，∴D（﹣1，28），

∵Q為線段BM上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)Q不與M重合），∴Q（t，﹣12t+16）（﹣1≤t＜2），

①當(dāng)﹣1≤t＜0時(shí)，S=（﹣t）（﹣12t+16﹣8）+8（﹣t）=6t2﹣12t=6（t﹣1）2﹣6，

∵﹣1≤t＜0，∴當(dāng)t=-1時(shí)，S最大=18；

②當(dāng)0＜t＜時(shí)，S=t8+t（﹣12t+16）=﹣6t2+12t=﹣6（t﹣1）2+6，

∵0＜t＜，∴當(dāng)t=1時(shí)，S最大=6；

③當(dāng)＜t＜2時(shí)，S=t8+（12t﹣16）=6t2﹣4t=6（t﹣）2﹣，

∵＜t＜2，∴此時(shí)S=16為最大值．