Question

【題目】已知在△ABC中，∠BAC=90°，∠BAC和∠ABC的平分線交于點(diǎn)P

（1）如圖1，在BC上取一點(diǎn)D，使得DB=AB，連接PD，△ABP與△DBP全等嗎？為什么？

（2）在（1）的條件下，若DP=DC，則BC=AB+AP是否成立？請說明理由；

（3）如圖2，在AC上取一點(diǎn)E，使得AE=AB，連接PE、PC，若∠ABC=60°，求∠EPC的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）△ABP與△DBP全等（2）成立（3）15°

【解析】

（1）利用SAS定理證明△ABP與△DBP全等；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP=DP，AB=DB，結(jié)合圖形證明即可；

（3）證明△ABP≌△AEP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠AEP=∠ABP=∠ABC=30°，得到答案．

（1）△ABP與△DBP全等

理由如下：因?yàn)?/span>BP是∠ABC的平分線，

所以∠ABP=∠DBP．

在△ABP和△DBP中，

，

∴△ABP≌△DBP（SAS）；

（2）成立．

理由如下：由（1）知△ABP≌△DBP，

∴AP=DP，AB=DB，

∵DP=DC．

∴AP=DC．

∴BC=DB+DC=AB+AP；

（3）因?yàn)?/span>P是∠BAC和∠ABC的平分線的交點(diǎn)，

所以∠BAP=∠EAP，PC是∠ACB的平分線．

因?yàn)椤?/span>ABC=60°，∠BAC=90°，

所以∠ACB=90°-∠ABC=30°．

所以∠ECP=∠PCB=15°．

在△ABP和△AEP中，

，

∴△ABP≌△AEP（SAS），

∴∠AEP=∠ABP=∠ABC=30°．

∴∠AEP=∠ACB=30°．

∴EP∥CB．

∴∠EPC=∠PCB=15°．