【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx﹣2的對稱軸是直線x=1,與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,點A的坐標(biāo)為(﹣2,0),點P為拋物線上的一個動點,過點P作PD⊥x軸于點D,交直線BC于點E.

(1)求拋物線解析式;
(2)若點P在第一象限內(nèi),當(dāng)OD=4PE時,求四邊形POBE的面積;
(3)在(2)的條件下,若點M為直線BC上一點,點N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點,是否存在這樣的點M和點N,使得以點B,D,M,N為頂點的四邊形是菱形?若存在上,直接寫出點N的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:∵拋物線y=ax2+bx﹣2的對稱軸是直線x=1,A(﹣2,0)在拋物線上,∴ ,解得: ,拋物線解析式為y= x2 x﹣2;


(2)

解:令y= x2 x﹣2=0,解得:x1=﹣2,x2=4,當(dāng)x=0時,y=﹣2,∴B(4,0),C(0,﹣2),設(shè)BC的解析式為y=kx+b,則 ,解得: ,∴y= x﹣2,

設(shè)D(m,0),

∵DP∥y軸,

∴E(m, m﹣2),P(m, m2 m﹣2),

∵OD=4PE,

∴m=4( m2 m﹣2﹣ m+2),

∴m=5,m=0(舍去),

∴D(5,0),P(5, ),E(5, ),

∴四邊形POBE的面積=SOPD﹣SEBD= ×5× = ;


(3)

解:存在,設(shè)M(n, n﹣2),

①以BD為對角線,如圖1,

∵四邊形BNDM是菱形,

∴MN垂直平分BD,

∴n=4+

∴M( , ),

∵M(jìn),N關(guān)于x軸對稱,

∴N( ,﹣ );

②以BD為邊,如圖2,

∵四邊形BNDM是菱形,

∴MN∥BD,MN=BD=MD=1,

過M作MH⊥x軸于H,

∴MH2+DH2=DM2,

即( n﹣2)2+(n﹣5)2=12,

∴n1=4(不合題意),n2=5.6,

∴N(4.6, ),

同理( n﹣2)2+(4﹣n)2=1,

∴n1=4+ (不合題意,舍去),n2=4﹣ ,

∴N(5﹣ , ),

③以BD為邊,如圖3,

過M作MH⊥x軸于H,

∴MH2+BH2=BM2,

即( n﹣2)2+(n﹣4)2=12,

∴n1=4+ ,n2=4﹣ (不合題意,舍去),

∴N(5+ ),

綜上所述,當(dāng)N( ,﹣ )或(4.6, )或(5﹣ )或(5+ , ),以點B,D,M,N為頂點的四邊形是菱形.


【解析】(1)由拋物線y=ax2+bx﹣2的對稱軸是直線x=1,A(﹣2,0)在拋物線上,于是列方程即可得到結(jié)論;(2)根據(jù)函數(shù)解析式得到B(4,0),C(0,﹣2),求得BC的解析式為y= x﹣2,設(shè)D(m,0),得到E(m, m﹣2),P(m, m2 m﹣2),根據(jù)已知條件列方程得到m=5,m=0(舍去),求得D(5,0),P(5, ),E(5, ),根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論;(3)設(shè)M(n, n﹣2),①以BD為對角線,根據(jù)菱形的性質(zhì)得到MN垂直平分BD,求得n=4+ ,于是得到N( ,﹣ );②以BD為邊,根據(jù)菱形的性質(zhì)得到MN∥BD,MN=BD=MD=1,過M作MH⊥x軸于H,根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,點O是直線AB上的一點,∠COD是直角,OE平分∠BOC.

(1)如圖,若∠AOC=40°,求∠DOE的度數(shù);

(2)如圖,若∠AOC=α,直接寫出∠DOE的度數(shù)(用含α的代數(shù)式表示)

(3)將圖中的∠COD繞頂點O順時針旋轉(zhuǎn)至圖的位置,OE平分∠BOC.

探究∠AOC∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系,寫出你的結(jié)論,并說明理由;

∠AOC的內(nèi)部有一條射線OF,且∠AOC﹣3∠AOF=2∠BOE,試確定∠AOF∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系,說明理由.

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A. 84 B. 81 C. 78 D. 76

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(3)在(2)的條件下,請問∠ECD 與∠ACB 的和是多少?并簡述理由.

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