【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx﹣2的對稱軸是直線x=1,與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,點A的坐標(biāo)為(﹣2,0),點P為拋物線上的一個動點,過點P作PD⊥x軸于點D,交直線BC于點E.
(1)求拋物線解析式;
(2)若點P在第一象限內(nèi),當(dāng)OD=4PE時,求四邊形POBE的面積;
(3)在(2)的條件下,若點M為直線BC上一點,點N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點,是否存在這樣的點M和點N,使得以點B,D,M,N為頂點的四邊形是菱形?若存在上,直接寫出點N的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:∵拋物線y=ax2+bx﹣2的對稱軸是直線x=1,A(﹣2,0)在拋物線上,∴ ,解得: ,拋物線解析式為y= x2﹣ x﹣2;
(2)
解:令y= x2﹣ x﹣2=0,解得:x1=﹣2,x2=4,當(dāng)x=0時,y=﹣2,∴B(4,0),C(0,﹣2),設(shè)BC的解析式為y=kx+b,則 ,解得: ,∴y= x﹣2,
設(shè)D(m,0),
∵DP∥y軸,
∴E(m, m﹣2),P(m, m2﹣ m﹣2),
∵OD=4PE,
∴m=4( m2﹣ m﹣2﹣ m+2),
∴m=5,m=0(舍去),
∴D(5,0),P(5, ),E(5, ),
∴四邊形POBE的面積=S△OPD﹣S△EBD= ×5× ﹣ 1× = ;
(3)
解:存在,設(shè)M(n, n﹣2),
①以BD為對角線,如圖1,
∵四邊形BNDM是菱形,
∴MN垂直平分BD,
∴n=4+ ,
∴M( , ),
∵M(jìn),N關(guān)于x軸對稱,
∴N( ,﹣ );
②以BD為邊,如圖2,
∵四邊形BNDM是菱形,
∴MN∥BD,MN=BD=MD=1,
過M作MH⊥x軸于H,
∴MH2+DH2=DM2,
即( n﹣2)2+(n﹣5)2=12,
∴n1=4(不合題意),n2=5.6,
∴N(4.6, ),
同理( n﹣2)2+(4﹣n)2=1,
∴n1=4+ (不合題意,舍去),n2=4﹣ ,
∴N(5﹣ , ),
③以BD為邊,如圖3,
過M作MH⊥x軸于H,
∴MH2+BH2=BM2,
即( n﹣2)2+(n﹣4)2=12,
∴n1=4+ ,n2=4﹣ (不合題意,舍去),
∴N(5+ , ),
綜上所述,當(dāng)N( ,﹣ )或(4.6, )或(5﹣ , )或(5+ , ),以點B,D,M,N為頂點的四邊形是菱形.
【解析】(1)由拋物線y=ax2+bx﹣2的對稱軸是直線x=1,A(﹣2,0)在拋物線上,于是列方程即可得到結(jié)論;(2)根據(jù)函數(shù)解析式得到B(4,0),C(0,﹣2),求得BC的解析式為y= x﹣2,設(shè)D(m,0),得到E(m, m﹣2),P(m, m2﹣ m﹣2),根據(jù)已知條件列方程得到m=5,m=0(舍去),求得D(5,0),P(5, ),E(5, ),根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論;(3)設(shè)M(n, n﹣2),①以BD為對角線,根據(jù)菱形的性質(zhì)得到MN垂直平分BD,求得n=4+ ,于是得到N( ,﹣ );②以BD為邊,根據(jù)菱形的性質(zhì)得到MN∥BD,MN=BD=MD=1,過M作MH⊥x軸于H,根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,點O是直線AB上的一點,∠COD是直角,OE平分∠BOC.
(1)如圖①,若∠AOC=40°,求∠DOE的度數(shù);
(2)如圖①,若∠AOC=α,直接寫出∠DOE的度數(shù)(用含α的代數(shù)式表示)
(3)將圖①中的∠COD繞頂點O順時針旋轉(zhuǎn)至圖②的位置,OE平分∠BOC.
①探究∠AOC和∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系,寫出你的結(jié)論,并說明理由;
②在∠AOC的內(nèi)部有一條射線OF,且∠AOC﹣3∠AOF=2∠BOE,試確定∠AOF與∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一般情況下不成立,但有些數(shù)可以使得它成立,例如:m=n=0時,我們稱使得成立的一對數(shù)m,n為“相伴數(shù)對”,記為(m,n).
(1)若(m,1)是“相伴數(shù)對”,則m=_____;
(2)(m,n)是“相伴數(shù)對”,則代數(shù)式m﹣[n+(6﹣12n﹣15m)]的值為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y1=x+1與雙曲線(k>0)相交于點A、B,已知點A坐標(biāo)(2,m).
(1)求k的值;
(2)求點B的坐標(biāo),并觀察圖象,寫出當(dāng)時,x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c(a≠0)與x軸交于點A(﹣1,0)和B(3,0),與y軸交于點C,點D的橫坐標(biāo)為m(0<m<3),連結(jié)DC并延長至E,使得CE=CD,連結(jié)BE,BC.
(1)求拋物線的解析式;
(2)用含m的代數(shù)式表示點E的坐標(biāo),并求出點E縱坐標(biāo)的范圍;
(3)求△BCE的面積最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,用火柴棒擺出一列正方形圖案,第①個圖案用了 4 根,第②個圖案用了 12 根,第③個圖案用了 24 根,按照這種方式擺下去,擺出第⑥個圖案用火柴棒的根數(shù)是( )
A. 84 B. 81 C. 78 D. 76
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖:矩形ABCD中,AB=2,BC=5,E、P分別在AD、BC上,且DE=BP=1.
(1)判斷△BEC的形狀,并說明理由?
(2)判斷四邊形EFPH是什么特殊四邊形?并證明你的判斷;
(3)求四邊形EFPH的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將一副直角三角尺的直角頂點C疊放在一起.
(1)如圖 1,若 CE 恰好是∠ACD 的角平分線,請你猜想此時 CD 是不是∠ECB 的角平分線?只回答出“是”或“不是”即可;
(2)如圖 2,若∠ECD=α,CD 在∠BCE 的內(nèi)部,請你猜想∠ACE 與∠DCB是否相等?并簡述理由;
(3)在(2)的條件下,請問∠ECD 與∠ACB 的和是多少?并簡述理由.
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