Question

如圖，直線y=-

4

3

x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C和點(diǎn)B（-1，0）．
（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）設(shè)該二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為M，求四邊形AOCM的面積；
（3）有兩動(dòng)點(diǎn)D、E同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，其中點(diǎn)D以每秒

3

2

個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線OAC按O?A?C的路線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線OCA按O?C?A的路線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)D、E兩點(diǎn)相遇時(shí)，它們都停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)D、E同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)t秒時(shí)，△ODE的面積為S．
①請(qǐng)問(wèn)D、E兩點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在DE∥OC，若存在，請(qǐng)求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
②請(qǐng)求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量t的取值范圍；
③設(shè)S₀是②中函數(shù)S的最大值，那么S₀=

 

．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)直線AC的解析式求出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式．
（2）根據(jù)拋物線的解析式可求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，由于四邊形OAMC不是規(guī)則的四邊形，因此可過(guò)M作x軸的垂線，將四邊形OAMC分成一個(gè)直角三角形和一個(gè)直角梯形來(lái)求解．
（3）①如果DE∥OC，此時(shí)點(diǎn)D，E應(yīng)分別在線段OA，CA上，先求出這個(gè)區(qū)間t的取值范圍，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理，求出此時(shí)t的值，然后看t的值是否符合此種情況下t的取值范圍．如果符合則這個(gè)t的值就是所求的值，如果不符合，那么就說(shuō)明不存在這樣的t．
②本題要分三種情況進(jìn)行討論：
當(dāng)E在OC上，D在OA上，即當(dāng)0＜t≤1時(shí)，此時(shí)S=

1

2

OE•OD，由此可得出關(guān)于S，t的函數(shù)關(guān)系式；
當(dāng)E在CA上，D在OA上，即當(dāng)1＜t≤2時(shí)，此時(shí)S=

1

2

OD×E點(diǎn)的縱坐標(biāo)．由此可得出關(guān)于S，t的函數(shù)關(guān)系式；
當(dāng)E，D都在CA上時(shí)，即當(dāng)2＜t＜

24

11

相遇時(shí)用的時(shí)間，此時(shí)S=S_△AOE-S_△AOD，由此可得出S，t的函數(shù)關(guān)系式；
綜上所述，可得出不同的t的取值范圍內(nèi)，函數(shù)的不同表達(dá)式．
③根據(jù)②的函數(shù)即可得出S的最大值．

解答：解：（1）令y=0，則x=3，
∴A（3，0），C（0，4），
∵二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)C（0，4），
∴可設(shè)二次函數(shù)的關(guān)系式為y=ax²+bx+4．
又∵該函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)A（3，0），B（-1，0），
∴

0=9a+3b+4 0=a-b+4

，
解得a=-

4

3

，b=

8

3

．
∴所求二次函數(shù)的關(guān)系式為y=-

4

3

x²+

8

3

x+4．

（2）∵y=-

4

3

x²+

8

3

x+4
=-

4

3

（x-1）²+

16

3

∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，

16

3

）
過(guò)點(diǎn)M作MF⊥x軸于F
∴S_{四邊形AOCM}=S_△AFM+S_梯形FOCM
=

1

2

×（3-1）×

16

3

+

1

2

×（4+

16

3

）×1
=10
∴四邊形AOCM的面積為10．

（3）①不存在DE∥OC
∵若DE∥OC，則點(diǎn)D，E應(yīng)分別在線段OA，CA上，此時(shí)1＜t＜2，在Rt△AOC中，AC=5．
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x₁，y₁）
∴

|x1|

3

=

4t-4

5

，
∴|x1|=

12t-12

5

∵DE∥OC，
∴

12t-12

5

=

3

2

t
∴t=

8

3

∵t=

8

3

＞2，不滿(mǎn)足1＜t＜2．
∴不存在DE∥OC．
②根據(jù)題意得D，E兩點(diǎn)相遇的時(shí)間為

3+4+5

3 2 +4

=

24

11

（秒）
現(xiàn)分情況討論如下：
（�。┊�(dāng)0＜t≤1時(shí)，S=

1

2

×

3

2

t•4t=3t²；
（ⅱ）當(dāng)1＜t≤2時(shí)，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x₂，y₂）
∴

|y2|

4

=

5-(4t-4)

5

，
∴|y2|=

36-16t

5

∴S=

1

2

×

3

2

t×

36-16t

5

=-

12

5

t²+

27

5

t；
（ⅲ）當(dāng)2＜t＜

24

11

時(shí)，
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x₃，y₃），類(lèi)似ⅱ可得|y3|=

36-16t

5

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x₄，y₄）
∴

|y4|

4

=

3 2 t-3

5

，
∴|y4|=

6t-12

5

∴S=S_△AOE-S_△AOD
=

1

2

×3×

36-16t

5

-

1

2

×3×

6t-12

5

=-

33

5

t+

72

5

．
③當(dāng)0＜t≤1時(shí)，S=

1

2

×

3

2

t•4t=3t²，函數(shù)的最大值是3；
當(dāng)1＜t≤2時(shí)，S=-

12

5

t²+

27

5

t．函數(shù)的最大值是：

243

80

，
當(dāng)2＜t＜

24

11

時(shí)，S=-

33

5

t+

72

5

，0＜S＜

6

5

．
∴S₀=

243

80

．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生分類(lèi)討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．