如圖,直線y=kx+4與x、y軸分別交于A、B兩點,且tan∠BAO=
43
,過點A的拋物線交y軸與點C,且OA=OC,并以直線x=2為對稱軸,點P是拋物線上的一個動點.
(1)求直線AB與拋物線的解析式;
(2)是否存在以點P為圓心的圓與直線AB及x軸都相切?若存在,求出點P的坐標,若不存在,試說明理由.
(3)連接OP并延長到Q點,使得PQ=OP,過點Q分別作QE⊥x軸于E,QF⊥y軸于F,設點P的橫坐標為x,矩形OEQF的周長為y,求y與x的函數(shù)關系.
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分析:①先確定A,B,C的坐標再來求解析式.②由切線長定理知P點在∠BAO的平分線上或它的外角平分線上.
解答:解:(1)B(0,4),OB=4,OA=3,OC=3,(1分)
直線解析式為:y=-
4
3
x+4
,(2分)
拋物線的解析式為:y=x2-4x+3;(4分)

(2)若⊙P與直線AB及x軸都相切,
則點P在∠BAO或它的外角的平分線所在的直線上.(5分)
①設∠BAO的角平分線交y軸于D,過D作DH⊥AB于H,
則DH=DO=m,BD=4-m,AH=AO=3,BH=5-3=2
在Rt△BHD中,BD2=BH2+DH2
即(4-m)2=m2+22
解得:m=
3
2

即D(0,1.5)(6分)
則直線AD的解析式為:y=-
1
2
x+
3
2
,(7分)
將其與拋物線的解析式y(tǒng)=x2-4x+3聯(lián)立解得:
x1=3
y1=0
x2=
1
2
y2=
5
4
,
即P(
1
2
,
5
4
)(8分)
②作∠BAO外角的平分線交y軸于G,
則AG⊥AD于A,則△DOA∽△AOG,故OG=2OA=6
即G(0,-6)直線DG解析式為:y=2x-6(9分)
將其與拋物線的解析式y(tǒng)=x2-4x+3聯(lián)立解得:
x1=3
y1=0
,(10分)
綜上所述:存在點P(
1
2
5
4
),使⊙P與直線AB及x軸都相切

(3)
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過P作PM⊥x軸于M,顯然PM是Rt△OQE的中位線,即OE=2OM=2|x|,QE=2PM
點P在拋物線x2-4x+3上,則P(x,x2-4x+3),QE=2PM=2|x2-4x+3|(11分)
①當x<0時,x2-4x+3>0,OE=-2x,y=2[-2x+2(x2-4x+3)]=4x2-20x+12(12分)
②當1<x<3時,x2-4x+3<0,y=2[2x-2(x2-4x+3)]=-4x2+20x-12(13分)
③當0<x<1或x>3時,x2-4x+3>0,y=2[2x+2(x2-4x+3)]=4x2-12x+12(14分)
點評:點在圖象上則它的坐標滿足圖象的解析式,分類討論的思想的應用.
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A、3
B、
3
2
C、
2
3
D、-
3
2

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1
2
x>kx+b>-2的解集為( 。
A、x<2
B、x>-1
C、x<1或x>2
D、-1<x<2

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