Question

【題目】如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上，OA＝8，點(diǎn)D為對角線OB的中點(diǎn)，若反比例函數(shù)y＝在第一象限內(nèi)的圖象與矩形的邊BC交于點(diǎn)F，與矩形邊AB交于點(diǎn)E，反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)D，且tan∠BOA＝，設(shè)直線EF的表達(dá)式為y＝k2x+b．

（1）求反比例函數(shù)表達(dá)式；

（2）直接寫出直線EF的函數(shù)表達(dá)式_______；

（3）當(dāng)x＞0時(shí)，直接寫出不等式k2x+b＞的解集_____；

（4）將矩形折疊，使點(diǎn)O與點(diǎn)F重合，折痕與x軸正半軸交于點(diǎn)H，與y軸正半軸交于點(diǎn)G，直接寫出線段OG的長______．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）y＝﹣x+5；（3）2＜x＜8；（4）．

【解析】

（1）利用正切的定義計(jì)算出AB得到B點(diǎn)坐標(biāo)為（8，4），根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得到D（4，2），然后利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)表達(dá)式；（2）利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可確定E、F坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求直線EF的解析式即可；（3）在第一象限內(nèi)，根據(jù)E、F坐標(biāo)寫出一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上上方所對應(yīng)的自變量的范圍即可；（4）連接GF，如圖，設(shè)OG＝t，則CG＝4﹣t，利用折疊的性質(zhì)得到GF＝OG＝t，則利用勾股定理得到22+（4﹣t）2＝t2，然后解方程求出t即可得到OG的長．

（1）在Rt△AOB中，∵tan∠BOA＝＝，

∴AB＝OA＝×8＝4，

∵OA=8，

∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（8，0），

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（8，4），

∵點(diǎn)D為對角線OB的中點(diǎn)，

∴，，

∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（4，2），

把D（4，2）代入y＝得k1＝4×2＝8，

∴反比例函數(shù)表達(dá)式為：y＝.

（2）當(dāng)x＝8時(shí)，y＝＝1，

解得：y=1，

∴E（8，1），

當(dāng)y＝4時(shí)，＝4，

解得：x＝2，

∴F（2，4），

把E（8，1），F（2，4）代入y＝k2x+b得，

解得，

所以直線EF的解析式為：y＝﹣x+5.

故答案為：y＝﹣x+5

（3）∵E（8，1），F（2，4），

∴不等式k2x+b＞的解集為2＜x＜8.

故答案為：2＜x＜8

（4）如圖，連接GF，設(shè)OG＝t，則CG＝4﹣t，

∵將矩形折疊，使點(diǎn)O與點(diǎn)F重合，

∴GF＝OG＝t，

∵F（2，4），

∴CF=2，

在Rt△CGF中，GF2=CG2+CF2，即22+（4﹣t）2＝t2，

解得：t＝，

∴OG的長為．