Question

【題目】已知是一張直角三角形紙片，其中，，小亮將它繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，交直線于點(diǎn).

（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，所在直線與線段有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)說明理由.

（2）如圖2，當(dāng)，求為等腰三角形時(shí)的度數(shù).

Answer 1

【答案】（1）BD與FM互相垂直，理由見解析；（2）β的度數(shù)為30°或75°或120°．

【解析】

（1）由題意設(shè)直線BD與FM相交于點(diǎn)N，即可根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)判斷直線BD與線段MF垂直；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠MAD=β，分類討論：當(dāng)KA=KD時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠KAD=∠D=30°，即β=30°；當(dāng)DK=DA時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠DKA=∠DAK，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和可計(jì)算出∠DAK=75°，即β=75°；當(dāng)AK=AD時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠AKD=∠D=30°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和可計(jì)算出∠KAD=120°，即β=120°．

解：（1）BD與FM互相垂直，理由如下

設(shè)此時(shí)直線BD與FM相交于點(diǎn)N

∵∠DAB=90°，∠D=30°

∴∠ABD=90°-∠D=60°，

∴∠NBM=∠ABD=60°

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得△ADB≌△AMF,∴∠D=∠M=30°

∴∠MNB=180°-∠M-∠NBM=180°-30°- 60°= 90°

∴BD與FM互相垂直

（2）

當(dāng)KA=KD時(shí)，則∠KAD=∠D=30°，即β=30°；

當(dāng)DK=DA時(shí)，則∠DKA=∠DAK，

∵∠D=30°，∴∠DAK=（180°﹣30°）÷2=75°，即β=75°；

當(dāng)AK=AD時(shí)，則∠AKD=∠D=30°，

∴∠KAD=180°﹣30°﹣30°=120°，即β=120°，

綜上所述，β的度數(shù)為30°或75°或120°．