Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，P為BA延長線上一點，連接CA、CD、AD，且∠PCA＝∠ADC，CE⊥AB于E，并延長交AD于F．

（1）求證：PC為⊙O的切線；

（2）求證：；

（3）若，，求PA的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

（1）如圖（見解析），先根據(jù)圓周角定理可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理可得，然后根據(jù)角的和差可得，最后根據(jù)圓的切線的判定即可得證；

（2）如圖（見解析），先根據(jù)圓周角定理可得，從而可得，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)即可得證；

（3）先根據(jù)圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，從而可得，又根據(jù)圓周角定理、正切三角函數(shù)可得，然后設(shè)，由題（2）的結(jié)論可得，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，由此即可得出答案．

（1）如圖，連接OC

由圓周角定理得：，即

，即

又是⊙O的半徑

PC是⊙O的切線；

（2）如圖，連接BC

由圓周角定理得：

在和中，

即；

（3），即

由圓周角定理得：

又

在和中，

，即

或（不符題意，舍去）

，即

解得

，

設(shè)，則

由（2）可知，，即

又由（2）可知，

，即

解得或

經(jīng)檢驗，是所列方程的根，是所列方程的增根

故PA的長為．