【題目】如圖15,已知拋物線Cyx2-3xm,直線lykx(k>0),當(dāng)k=1時,拋物線C與直線l只有一個公共點(diǎn).

(1)求m的值;

(2)若直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)A,B,直線l與直線l1y=-3xb交于點(diǎn)P,且,求b的值;

(3)在(2)的條件下,設(shè)直線l1y軸交于點(diǎn)Q,問:是否存在實(shí)數(shù)k使SAPQSBPQ,若存在,求k的值;若不存在,說明理由.

【答案】(1)4;(2)8;(3)不存在.

【解析】試題分析:(1)兩圖象有一個交點(diǎn),則對應(yīng)的方程組有一組解,即△=0,代入計算即可求出m的值;

(2)作出輔助線,得到△OAC∽△OPD, =2,同理=2,AC,BE是x2-(k+3)x+4=0兩根,即可;

(3)由S△APQ=S△BPQ得到AC+BE=2PD,建立方程(k+3)2=16即可.

試題解析:(1)∵當(dāng)k=1時,拋物線C與直線l只有一個公共點(diǎn),

∴方程組有且只有一組解.

消去y,得x2-4xm=0,所以此一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根.

∴△=0,即(-4)2-4m=0.

m=4.

(2)如圖,分別過點(diǎn)A,PBy軸的垂線,垂足依次為C,D,E,

則△OAC∽△OPD,∴

同理,

,∴=2.

=2.

,即

解方程組x,即PD

由方程組消去y,得x2-(k+3)x+4=0.

ACBE是以上一元二次方程的兩根,

ACBEk+3,AC·BE=4.

解得b=8.

(3)不存在.理由如下:

假設(shè)存在,則當(dāng)SAPQSBPQ時有APPB,

于是PDACPEPD,即ACBE=2PD

由(2)可知ACBEk+3,PD,

k+3=2×,即(k+3)2=16.

解得k=1(舍去k=-7).

當(dāng)k=1時,A,B兩點(diǎn)重合,△QAB不存在.

∴不存在實(shí)數(shù)k使SAPQSBPQ

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2)如圖1,連結(jié)BC,在線段BC上是否存在點(diǎn)E,使得CDE為等腰三角形?若存在,求出所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;

3)如圖2,若點(diǎn)Pmn)是該二次函數(shù)圖象上的一個動點(diǎn)(其中m0,n0),連結(jié)PB,PD,BD,求BDP面積的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo).

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3)此拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)M,使得△ACM是等腰三角形?若存在,請求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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