【題目】如圖,P為正方形ABCD的邊BC上一動點(PB、C不重合),連接AP,過點BBQAPCD于點Q,將BQC沿BQ所在的直線對折得到BQC′,延長QC′BA的延長線于點M

1)試探究APBQ的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;

2)當(dāng)AB=3,BP=2PC,求QM的長;

3)當(dāng)BP=m,PC=n時,求AM的長.

【答案】1AP=BQ;23

【解析】

試題分析:1)要證AP=BQ,只需證PBA≌△QCB即可;

2)過點QQHABH,如圖.易得QH=BC=AB=3,BP=2,PC=1,然后運用勾股定理可求得AP(即BQ=,BH=2.易得DCAB,從而有CQB=QBA.由折疊可得C′QB=CQB,即可得到QBA=C′QB,即可得到MQ=MB.設(shè)QM=x,則有MB=xMH=x﹣2.在RtMHQ中運用勾股定理就可解決問題;

3)過點QQHABH,如圖,同(2)的方法求出QM的長,就可得到AM的長.

解:(1AP=BQ

理由:四邊形ABCD是正方形,

AB=BC,ABC=C=90°

∴∠ABQ+CBQ=90°

BQAP∴∠PAB+QBA=90°,

∴∠PAB=CBQ

PBAQCB中,

,

∴△PBA≌△QCB,

AP=BQ;

2)過點QQHABH,如圖.

四邊形ABCD是正方形,

QH=BC=AB=3

BP=2PC,

BP=2PC=1,

BQ=AP===

BH===2

四邊形ABCD是正方形,

DCAB,

∴∠CQB=QBA

由折疊可得C′QB=CQB,

∴∠QBA=C′QB,

MQ=MB

設(shè)QM=x,則有MB=x,MH=x﹣2

RtMHQ中,

根據(jù)勾股定理可得x2=x﹣22+32,

解得x=

QM的長為

3)過點QQHABH,如圖.

四邊形ABCD是正方形,BP=m,PC=n,

QH=BC=AB=m+n

BQ2=AP2=AB2+PB2,

BH2=BQ2﹣QH2=AB2+PB2﹣AB2=PB2,

BH=PB=m

設(shè)QM=x,則有MB=QM=x,MH=x﹣m

RtMHQ中,

根據(jù)勾股定理可得x2=x﹣m2+m+n2,

解得x=m+n+,

AM=MB﹣AB=m+n+﹣m﹣n=

AM的長為

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