【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,點(diǎn)P是邊AB上的一動點(diǎn),連結(jié)DP.
(1)若將△DAP沿DP折疊,點(diǎn)A落在矩形的對角線上點(diǎn)A′處,試求AP的長;
(2)點(diǎn)P運(yùn)動到某一時刻,過點(diǎn)P作直線PE交BC于點(diǎn)E,將△DAP與△PBE分別沿DP與PE折疊,點(diǎn)A與點(diǎn)B分別落在點(diǎn)A′,B′處,若P,A′,B′三點(diǎn)恰好在同一直線上,且A′B′=2,試求此時AP的長;
(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到邊AB的中點(diǎn)處時,過點(diǎn)P作直線PG交BC于點(diǎn)G,將△DAP與△PBG分別沿DP與PG折疊,點(diǎn)A與點(diǎn)B重合于點(diǎn)F處,連結(jié)CF,請求出CF的長.
【答案】(1)AP的長為或;(2)PA的長為1或3;(3)CF=.
【解析】
(1)分兩種情形:①當(dāng)點(diǎn)A落在對角線BD上時,設(shè)AP=PA′=x,構(gòu)建方程即可解決問題;②當(dāng)點(diǎn)A落在對角線AC上時,利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程即可解決問題;
(2)分兩種情形分別求解即可解決問題;
(3)如圖5中,作FH⊥CD由H.想辦法求出FH、CH即可解決問題;
(1)①當(dāng)點(diǎn)A落在對角線BD上時,設(shè)AP=PA′=x,
在Rt△ADB中,∵AB=4,AD=3,∴BD==5,
∵AB=DA′=3,∴BA′=2,
在Rt△BPA′中,(4﹣x)2=x2+22,解得x=,
∴AP=.
②當(dāng)點(diǎn)A落在對角線AC上時,
由翻折性質(zhì)可知:PD⊥AC,則有△DAP∽△ABC,
∴=,∴AP===.
∴AP的長為或;
(2)①如圖3中,設(shè)AP=x,則PB=4﹣x,
根據(jù)折疊的性質(zhì)可知:PA=PA′=x,PB=PB′=4﹣x,
∵A′B′=2,∴4﹣x﹣x=2,∴x=1,∴PA=1;
②如圖4中,
設(shè)AP=x,則PB=4﹣x,
根據(jù)折疊的性質(zhì)可知:PA=PA′=x,PB=PB′=4﹣x,
∵A′B′=2,∴x﹣(4﹣x)=2,
∴x=3,∴PA=3;
綜上所述,PA的長為1或3;
(3)如圖5中,作FH⊥CD由H.
由翻折的性質(zhì)可知;AD=DF=3.BG=BF,G、F、D共線,
設(shè)BG=FG=x,在Rt△GCD中,(x+3)2=42+(3﹣x)2,
解得x=,∴DG=DF+FG=,CG=BC﹣BG=,
∵FH∥CG,∴==,∴==,
∴FH=,DH=,∴CH=4﹣=,
在Rt△CFH中,CF==.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線的頂點(diǎn)為,與軸相交于點(diǎn),對稱軸為直線,點(diǎn)是線段的中點(diǎn).
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)寫出點(diǎn)的坐標(biāo)并求直線的表達(dá)式;
(3)設(shè)動點(diǎn),分別在拋物線和對稱軸l上,當(dāng)以,,,為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時,求,兩點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:
數(shù)學(xué)活動課上,李老師給出如下定義:如果一個三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半,那么稱三角形為“智慧三角形”.
理解:
⑴如圖,已知是⊙上兩點(diǎn),請在圓上找出滿足條件的點(diǎn),使為“智慧三角形”(畫出點(diǎn)的位置,保留作圖痕跡);
⑵如圖,在正方形中,是的中點(diǎn),是上一點(diǎn),且,試判斷是否為“智慧三角形”,并說明理由;
運(yùn)用:
⑶如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,⊙的半徑為,點(diǎn)是直線上的一點(diǎn),若在⊙上存在一點(diǎn),使得為“智慧三角形”,當(dāng)其面積取得最小值時,直接寫出此時點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓0的直徑AB垂直于弦CD于點(diǎn)E,CG是圓O的切線交AB的延長線于點(diǎn)G,連接CO并延長交AD于點(diǎn)F,且CFAD.
(1)試問:CG//AD嗎?說明理由:
(2)證明:點(diǎn)E為OB的中點(diǎn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在解決數(shù)學(xué)問題時,我們常常從特殊入手,猜想結(jié)論,并嘗試發(fā)現(xiàn)解決問題的策略與方法.
(問題提出)
求證:如果一個定圓的內(nèi)接四邊形對角線互相垂直,那么這個四邊形的對邊的平方和是一個定值.
(從特殊入手)
我們不妨設(shè)定圓O的半徑是R,⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中,AC⊥BD.
請你在圖①中補(bǔ)全特殊殊位置時的圖形,并借助于所畫圖形探究問題的結(jié)論.
(問題解決)
已知:如圖②,定圓⊙O的半徑是R,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形, AC⊥BD.
求證: .
證明:
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:如果一元二次方程滿足,那么我們稱這個方程為“鳳凰”方程.已知是“鳳凰”方程,且有兩個相等的實(shí)數(shù)根,則下列結(jié)論正確的是 ( )
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=﹣1,與x軸的一個交點(diǎn)在(﹣3,0和(﹣2,0)之間,其部分圖象如圖,則下列結(jié)論:①2a﹣b=0:②4ac﹣b2<0:③點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2)在拋物線上若x1<x2,則y1<y2;④a+b+c<0.正確結(jié)論的個數(shù)是( 。
A.1B.2C.3D.4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ACB內(nèi)接于圓O,AB為直徑,CD⊥AB與點(diǎn)D,E為圓外一點(diǎn),EO⊥AB,與BC交于點(diǎn)G,與圓O交于點(diǎn)F,連接EC,且EG=EC.
(1)求證:EC是圓O的切線;
(2)當(dāng)∠ABC=22.5°時,連接CF.
①求證:AC=CF;
②若AD=1,求線段FG的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,有以下結(jié)論:①abc>0;②a-b+c<0;③2a=b;④4a+2b+c>0;⑤若點(diǎn)(-2,y1)和(-,y2)在該圖象上,則y1>y2. 其中正確的結(jié)論個數(shù)是 ( )
A.1個B.2個C.3個D.4個
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