【題目】閱讀理解:
【問題情境】金老師給“數(shù)學(xué)小達人”小明和小軍提出這樣一個問題:
如圖1,△ABC中,∠B=2∠C,AD是∠BAC的平分線.求證:AB+BD=AC.

【證明思路】小明的證明思路是:如圖2,在AC上截取AE=AB,連接DE.……

小軍的證明思路是:如圖3,延長CB至點E,使BE=AB,連接AE.可以證得:AE=DE.……
(1)請你從他們的思路中,任意選擇一種思路繼續(xù)完成下一步的證明.
(2)【變式探究】如圖4,金老師把“AD是∠BAC的平分線”改成“AD是BC邊上的高”,其它條件不變,那么AB+BD=AC還成立嗎?若成立,請證明;若不成立,寫出正確結(jié)論,并說明理由.

(3)【遷移拓展】如圖5,△ABC中,∠B=2∠C.求證:AC2—AB2=AB×BC.

【答案】
(1)解:小明的證明思路是:在AC上截取AE=AB,連接DE.(如圖2)

∵AD是∠BAC的平分線,∴∠BAD=∠EAD,

又∵AD=AD, ∴△ABD≌△AED,∴BD=DE,∠ABD=∠AED,

又∵∠AED=∠EDC+∠C,∠B=2∠C,

∴∠EDC=∠C,∴ DE=EC, 即AB+BD=AC.

小軍的證明思路是:延長CB至點E,使BE=AB,連接AE.(如圖3)

則∠E=∠BAE,∴∠ABC=2∠E,

∵∠ABC=2∠C,∴∠E=∠C,∴△AEC是等腰三角形.

∵∠ADE=∠DAC+∠C,∠DAE=∠BAD+∠BAE,

又∵AD是∠BAC的平分線, ∴∠BAD=∠DAC,

∴∠ADE=∠DAE,∴△AED是等腰三角形.

∴EA=ED=AC,∴AB+BD=AC.


(2)解:AB+BD=AC不成立.正確結(jié)論是:AB+BD=CD.

方法1:如圖4,在CD上截取DE=DB,

∵AD⊥BC, ∴ AD是BE的垂直平分線,

∴AE=AB, ∴∠B=∠AED,

∵∠AED =∠C+∠CAE,

∵∠B=2∠C,∴∠C=∠CAE,

∴ AE=EC, 即AB+BD=CD.

方法2:如圖5,延長DB至點E,使BE=AB,則∠E=∠BAE,

∵∠ABD =∠E+∠BAE =2∠E,

∵∠B=2∠C,∴∠E=∠C,∴△AEC是等腰三角形.

∵AD⊥BC,∴CD=ED, 即AB+BD=CD.


(3)解:如圖6,過點A作AD⊥BC于D.

由勾股定理得:AB2=BD2+AD2, AC2=CD2+AD2,

∴ AC2—AB2=CD2—BD2=(CD+BD)×(CD—BD)=BC×(CD—BD),

∵AB+BD=CD,∴ CD—BD=AB,

∴ AC2—AB2=BC×(CD—BD)=BC×AB,即AC2-AB2+AB×BC.


【解析】(1)根據(jù)已知條件和角平分線的性質(zhì),得到△ABD≌△AED,根據(jù)根據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和和∠B=2∠C,得到∠EDC=∠C,根據(jù)等角對等邊得到DE=EC, 即AB+BD=AC;(2)根據(jù)已知條件由AD⊥BC,得到AD是BE的垂直平分線,根據(jù)垂直平分線得到AB+BD=CD;(3)根據(jù)勾股定理和兩等式相減,得到AC2-AB2+AB×BC.

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