Question

【題目】如圖，已知為直角三角形，，，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)坐標(biāo)為，線段與軸相交于點(diǎn)，以為頂點(diǎn)的拋物線過點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)（用表示）；

（2）求拋物線的解析式；

（3）設(shè)點(diǎn)為拋物線上點(diǎn)至點(diǎn)之間的一動點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，試證明：為定值．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)的坐標(biāo)是；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）AO=AC-OC=m-3，用線段的長度表示點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）∵△ABC是等腰直角三角形，∴△AOD也是等腰直角三角形，∴OD=OA，∴D（0，m-3），又P（1，0）為拋物線頂點(diǎn)，可設(shè)頂點(diǎn)式，求解析式；
（3）設(shè)Q（x，x2-2x+1），過Q點(diǎn)分別作x軸，y軸的垂線，運(yùn)用相似比求出FC、EC的長，而AC=m，代入即可．

（1）解：由可知，，又為等腰直角三角形，

∴，，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)是；

（2）解：∵，

∴,則點(diǎn)的坐標(biāo)是，

又拋物線頂點(diǎn)為，且過點(diǎn)，

所以可設(shè)拋物線的解析式為：，

得 ，解得：，

∴拋物線的解析式為；

（3）證明：過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，

則，，

∵，

∴∽，

∴,即，

得，

∵，

∴∽，

∴,即，

得，

又∵，

∴，

即為定值8.