【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0,﹣3),A點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣1,0).
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)若點(diǎn)P是拋物線在第四象限上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)四邊形ABPC的面積最大時(shí),
求點(diǎn)P的坐標(biāo),并求出四邊形ABPC的最大面積;
(3)若Q為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn),直接寫出使△QBC為直角三角形的點(diǎn)Q的
坐標(biāo).
【答案】
(1)
解:∵A(﹣1,0),C(0,﹣3)在y=x2+bx+c上,
∴ ,解得 ,
∴二次函數(shù)的解析式為y=x2﹣2x﹣3
(2)
解:在y=x2﹣2x﹣3中,令y=0可得0=x2﹣2x﹣3,解得x=3或x=﹣1,
∴B(3,0),且C(0,﹣3),
∴經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的直線為y=x﹣3,
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,x2﹣2x﹣3),如圖,過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸,垂足為D,與直線BC交于點(diǎn)E,則E(x,x﹣3),
∵S四邊形ABPC=S△ABC+S△BCP= ×4×3+ (3x﹣x2)×3=﹣ x2+ x+6= ,
∴當(dāng) 時(shí),四邊形ABPC的面積最大,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為( ,﹣ ),
∴四邊形ABPC的最大面積為
(3)
解:∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴對(duì)稱軸為x=1,
∴可設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(1,t),
∵B(3,0),C(0,﹣3),
∴BQ2=(1﹣3)2+t2=t2+4,CQ2=12+(t+3)2=t2+6t+10,BC2=18,
∵△QBC為直角三角形,
∴有∠BQC=90°、∠CBQ=90°和∠BCQ=90°三種情況,
① 當(dāng)∠BQC=90°時(shí),則有BQ2+CQ2=BC2,即t2+4+t2+6t+10=18,解得t= 或t= ,此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(1, )或(1, );
②當(dāng)∠CBQ=90°時(shí),則有BC2+BQ2=CQ2,即t2+4+18=t2+6t+10,解得t=2,此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2);
③當(dāng)∠BCQ=90°時(shí),則有BC2+CQ2=BQ2,即18+t2+6t+10=t2+4,解得t=﹣4,此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(1,﹣4);
綜上可知Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(1, )或(1, )或(1,2)或(1,﹣4).
【解析】(1)把A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得b、c的值,可求得二次函數(shù)的解析式;(2)由拋物線解析式可求得B點(diǎn)坐標(biāo),由B、C坐標(biāo)可求得直線BC解析式,可設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo),用P點(diǎn)坐標(biāo)表示出四邊形ABPC的面積,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其面積的最大值及P點(diǎn)坐標(biāo);(3)由拋物線解析式可求得其對(duì)稱軸,則可設(shè)出Q點(diǎn)的坐標(biāo),則可表示出QB2、QC2和BC2 , 分∠BQC=90°、∠CBQ=90°和∠BCQ=90°三種情況,分別根據(jù)勾股定理得到關(guān)于Q點(diǎn)坐標(biāo)的方程,可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,菱形ABCD的對(duì)角線AC=4cm,把它沿對(duì)角線AC方向平移1cm得到菱形EFGH,則圖中陰影部分圖形的面積與四邊形EMCN的面積之比為 .
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【題目】已知:如圖,AE⊥BC,F(xiàn)G⊥BC,∠1=∠2,∠D=∠3+60°,∠CBD=70°.
(1)求證:AB∥CD;
(2)求∠C的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨著裕安中學(xué)的規(guī)模逐漸擴(kuò)大,學(xué)生人數(shù)越來(lái)越多,學(xué)校打算購(gòu)買校車20輛,現(xiàn)有A和B兩種型號(hào)校車,如果購(gòu)買A型號(hào)校車6輛,B型號(hào)14輛,需要資金580萬(wàn)元;如果購(gòu)買A型號(hào)校車12輛,B型號(hào)校車8輛,需要資金760萬(wàn)元.已知每種型號(hào)校車的座位數(shù)如表所示:
A型號(hào) | B型號(hào) | |
座位數(shù)(個(gè)/輛) | 60 | 30 |
經(jīng)預(yù)算,學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)買設(shè)備的資金不高于500萬(wàn)元.(每種型號(hào)至少購(gòu)買1輛)
(1)每輛A型校車和B型校車各多少萬(wàn)元?
(2)請(qǐng)問(wèn)學(xué)校有幾種購(gòu)買方案?且哪種方案的座位數(shù)最多,是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在對(duì)某地區(qū)的一次人口抽樣統(tǒng)計(jì)分析中,各年齡段(年齡為整數(shù))的人數(shù)如下表所示.請(qǐng)根據(jù)此表回答下列問(wèn)題:
年齡段 | 0~9 | 10~19 | 20~29 | 30~39 | 40~49 | 50~59 | 60~69 | 70~79 | 80~89 |
人數(shù) | 9 | 11 | 17 | 18 | 17 | 12 | 8 | 6 | 2 |
(1)這次共調(diào)查了多少人?
(2)哪個(gè)年齡段的人數(shù)最多?哪個(gè)年齡段的人數(shù)最少?
(3)年齡在60歲以上(含60歲)的頻數(shù)是多少?所占百分比是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為弘揚(yáng)中華傳統(tǒng)文化,某校組織八年級(jí)1000名學(xué)生參加漢字聽寫大賽,為了解學(xué)生整體聽寫能力,從中抽取部分學(xué)生的成績(jī)(得分取正整數(shù),滿分為100分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,請(qǐng)根據(jù)尚未完成的下列圖表,解答問(wèn)題:
組別 | 分?jǐn)?shù)段 | 頻數(shù) | 頻率 |
一 | 50.5~60.5 | 16 | 0.08 |
二 | 60.5~70.5 | 30 | 0.15 |
三 | 70.5~80.5 | 50 | 0.25 |
四 | 80.5~90.5 | m | 0.40 |
五 | 90.5~100.5 | n |
(1)本次抽樣調(diào)查的樣本是__________,樣本容量為__________,表中m=__________,n=__________;
(2)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(3)若抽取的樣本具有較好的代表性,且成績(jī)超過(guò)80分為優(yōu)秀,根據(jù)樣本估計(jì)該校八年級(jí)學(xué)生中漢字聽寫能力優(yōu)秀的約有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某班組織去方特參加秋季社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),其中第一小組有x人,第二小組的人數(shù)比第一小組人數(shù)的少30人,如果從第二小組調(diào)出10人到第一小組,那么:
(1)兩個(gè)小組共有多少人?
(2)調(diào)動(dòng)后,第一小組的人數(shù)比第二小組多多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,點(diǎn)D,E分別是AB,C的中點(diǎn),則S△ADE:S△ABC=( )
A.1:2
B.1:3
C.1:4
D.1:5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn)B,E,C,F在一條直線上,AC∥DE,∠A=∠D,AB=DF.
(1)試說(shuō)明:△ABC≌△DFE;
(2)若BF=13,EC=7,求BC的長(zhǎng).
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