Question

【題目】如圖1，在和中，頂點(diǎn)是它們的公共頂點(diǎn)，，．

（特例感悟）（1）當(dāng)頂點(diǎn)與頂點(diǎn)重合時(shí)（如圖1），與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，求證：四邊形是菱形；

（探索論證）（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，四邊形是什么特殊四邊形？試證明你的結(jié)論；

（拓展應(yīng)用）（3）試探究：當(dāng)等于多少度時(shí)，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？請(qǐng)給予證明．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析； (2)當(dāng)∠GBC=30°時(shí)，四邊形GCFD是正方形．證明見(jiàn)解析；(3)當(dāng)∠GBC=120°時(shí)，以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形CGFD是矩形. 證明見(jiàn)解析．

【解析】

（1）先證明四邊形是平行四邊形，再通過(guò)證明得出，從而證明四邊形是菱形；

（2）證法一：如圖，連接交于，在上取一點(diǎn)，使得，通過(guò)證明，，，從而證明當(dāng)∠GBC=30°時(shí)，四邊形GCFD是正方形；

證法二：如圖，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥BC于H，通過(guò)證明OD=OC=OG=OF，GF=CD，從而證明當(dāng)∠GBC=30°時(shí)，四邊形GCFD是正方形；

（3）當(dāng)∠GBC=120°時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，通過(guò)證明，CD=GF，，從而證明四邊形是矩形．

(1) ，，

四邊形是平行四邊形，

在和中，

，

，

四邊形是菱形．

(2)當(dāng)∠GBC=30°時(shí)，四邊形GCFD是正方形．

證法一：如圖，連接交于，在上取一點(diǎn)，使得，

，，

，

，

，

，.

，，，

，

，

，

，

，

設(shè)，則，，

在Rt△BGK中，，解得，

，，

，

，

，

，，

四邊形是平行四邊形，

，

四邊形是矩形，

，

四邊形是正方形．

證法二：如圖

∵，，

.

又，

，

，.

過(guò)點(diǎn)G作GH⊥BC于H，

在Rt△BHG中，

∵，

∴GH=BG＝＋１，BH＝GH＝3＋，

∴HC=BC﹣BH=2+2-（3＋）=-1，

∴GC=，

∴OG=OC===2，

∴OD=OF=4-2=2，

∴OD=OC=OG=OF，

四邊形是矩形，

∵GF=CD，

四邊形是正方形．

(3) 當(dāng)∠GBC=120°時(shí)，以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形CGFD是矩形.

當(dāng)∠GBC=120°時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合.

，

∴，

.

∵四邊形ABCD和四邊形GBEF是平行四邊形，

∴，，AB=CD，AB=GF，

∴，CD=GF，

四邊形是平行四邊形.

∵，

四邊形是矩形．