如圖，拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A、B兩點，與y軸于點C，點D為對稱軸l上的一個動點．
（1）求當AD+CD最小時，點D的坐標；
（2）以點A為圓心，以AD為半徑作⊙A
①證明：當AD+CD最小時，直線BD與⊙A相切．
②寫出直線BD與⊙A相切時，D點的另一個坐標______．
（1）因為點A關于l的對稱點是點B，所以連接BC，交l于點D，即為所求點．
由拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A、B兩點，
則對稱軸為：x=1．
當-x2+2x+3=0，
解得：x=3或x=-1．
∴點A（-1，0），點B（3，0），
拋物線y=-x2+2x+3當x=0時，y=3，
∴點C（0，3）．
設直線BC為：y=kx+b，
代入點B，C得：k=-1，b=3，即y=-x+3，
代入對稱軸x=1，則y=2，
∴點D（1，2）．

（2）①由題意如圖，
∵A，B關于l對稱，
∴AD=BD，BE=2，AB=4，DE=2，
則BD=AD=
DE2+BE2
=2
2
，
∴BD2+AD2=16，
∵AB2=16，
∴BD2+AD2=AB2，
由勾股定理的逆定理知，∠ADB=90°，即AD⊥BD．
故當AD+CD最小時，直線BD與⊙A相切．
②由①所得點D的另一個坐標（1，-2）．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知拋物線y=-x2+bx+c與x軸負半軸交于點A，與y軸正半軸交于點B，且OA=OB．
（1）求b+c的值；
（2）若點C在拋物線上，且四邊形OABC是平行四邊形，求拋物線的解析式；
（3）在（2）條件下，點P（不與A、C重合）是拋物線上的一點，點M是y軸上一點，當△BPM是等腰直角三角形時，求點M的坐標．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

一家電腦公司推出一款新型電腦，投放市場以來的利潤情況可以看做是拋物線的一部分，請結合下面的圖象解答以下問題：
（1）求該拋物線對應的二次函數(shù)的解析式；
（2）該公司在經(jīng)營此款電腦過程中，第幾個月的利潤最大，最大利潤是多少；
（3）若照此經(jīng)營下去，請你結合所學的知識，對公司在此款電腦的經(jīng)營狀況（是否虧損何時虧損）作出預測．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知：如圖一次函數(shù)y=
1
2
x+1的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B；二次函數(shù)y=
1
2
x2+bx+c的圖象與一次函數(shù)y=
1
2
x+1的圖象交于B、C兩點，與x軸交于D、E兩點且D點坐標為（1，0）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）求四邊形BDEC的面積S；
（3）在x軸上是否存在點P，使得△PBC是以P為直角頂點的直角三角形？若存在，求出所有的點P，若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知拋物線y1=ax2+bx+c的頂點坐標為（2，1），且經(jīng)過點B（
5
2
，
3
4
），拋物線對稱軸左側與x軸交于點A，與y軸相交于點C．
（1）求拋物線解析式y(tǒng)1和直線BC的解析式y(tǒng)2；
（2）連接AB、AC，求△ABC的面積．
（3）根據(jù)圖象直接寫出y1＜y2時自變量x的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）過點A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5），頂點為M點．
（1）求該拋物線的解析式．
（2）試判斷拋物線上是否存在一點P，使∠POM=90°．若不存在，說明理由；若存在，求出P點的坐標．
（3）試判斷拋物線上是否存在一點K，使∠OMK=90°，若不存在，說明理由；若存在，求出K點的坐標．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），如果當x取任意整數(shù)時，函數(shù)值y都是整數(shù)，此時稱該點（x，y）為整點，該函數(shù)的圖象為整點拋物線（例如：y=x2+2x+2）．
（1）請你寫出一個二次項系數(shù)的絕對值小于1的整點拋物線的解析式______（不必證明）；
（2）請直接寫出整點拋物線y=x2+2x+2與直線y=4圍成的陰影圖形中（不包括邊界）所含的整點個數(shù)有______個．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，某地一城墻門洞呈拋物線形，已知門洞的地面寬度AB=12米，兩側距地面5米高C、D處各安裝一盞路燈，兩燈間的水平距離CD=8米，
（1）求這個門洞的高度______；
（2）現(xiàn)有體寬均約為0.5水，身高約為1.6米的20名同學想要手挽手成一排橫向通過該城門，請你測算，他們能否通過？

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

小明代表班級參加校運會的鉛球項目，他想：“怎樣才能將鉛球推得更遠呢”，于是找來小剛做了如下的探索：小明手摯鉛球在控制每次推出時用力相同的條件下，分別沿與水平線成30°、45°、60°方向推了三次．鉛球推出后沿拋物線形運動．如圖，小明推鉛球時的出手點距地面2m，以鉛球出手點所在豎直方向為y軸、地平線為x軸建立直角坐標系，分別得到的有關數(shù)據(jù)如下表：
鉛球的方向與水平線的夾角300450600
鉛球運行所得到的拋物線解析式y1=-0.06（x-3）2+2.5y2=
______（x-4）2+3.6		y3=-0.22（x-3）2+4
估測鉛球在最高點的坐標P1（3，2.5）P2（4，3.6）P3（3，4）
鉛球落點到小明站立處的水平距離9.5m

______m		7.3m
（1）請你求出表格中兩橫線上的數(shù)據(jù)，寫出計算過程，并將結果填入表格中的橫線上；
（2）請根據(jù)以上數(shù)據(jù)，對如何將鉛球推得更遠提出你的建議．

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