【題目】如圖,的半徑長為,垂直弦于點,的延長線交于點,與過點的的切線交于點,已知.
若,求、的長;
求的最大值.
【答案】(1);(2)的最大值為.
【解析】
(1)利用切線的性質(zhì)以及勾股定理得出AB的長,進(jìn)而利用△BOC∽△OBF,得出即可;
(2)首先得出△BCO∽△FCB,進(jìn)而用x表示出FC的長,即可利用二次函數(shù)最值求法得出即可.
(1)EC=2,則CO=5﹣2=3.
∵CO⊥AB,∴AB=2CB.在Rt△BCO中,BO=5,∴BC===4,∴AB=8.
∵BF為⊙O的切線,∴OB⊥BF.
在△BOC和△OBF中,∵∠OCB=∠FBO=90°,∠BOC=∠BOF,∴△BOC∽△OBF,∴=,∴=,解得:BF=;
(2)∵∠CBF+∠OBC=90°,∠BOC+∠OBC=90°,∴∠CBF=∠BOC,又∠BCF=∠BCO=90°,∴△BCO∽△FCB,∴=,∴BC2=OC×FC.
∵OC=5﹣x,OB=5,∴BC2=BO2﹣CO2=25﹣(5﹣x)2,∴25﹣(5﹣x)2=CO×FC=(5﹣x)×FC,∴FC=,∴EF×CO2=(FC﹣EC)×CO2
=(﹣x)(5﹣x)2=5x(5﹣x)=﹣5(x﹣)2+
∴EF×CO2的最大值為.
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【題目】已知,一次函數(shù)的圖像與軸、軸分別交于點A、點B,與直線 相交于點C.過點B作軸的平行線l.點P是直線l上的一個動點.
(1)求點A,點B的坐標(biāo).
(2)若,求點P的坐標(biāo).
(3)若點E是直線上的一個動點,當(dāng)△APE是以AP為直角邊的等腰直角三角形時,求點E的坐標(biāo).
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中, ∠B=90°,DE//AB交BC于E、交AC于F,∠CDE=∠ACB=30°,BC=DE.
(1)求證:△ACD是等腰三角形;
(2)若AB=4,求CD的長.
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【題目】如圖,點在等邊的邊上,,射線于點,點是射線上一動點,點是線段上一動點,當(dāng)的值最小時,,則為( )
A. 14B. 13C. 12D. 10
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【題目】操作發(fā)現(xiàn):如圖,已知△ABC和△ADE均為等腰三角形,AB=AC,AD=AE,將這兩個三角形放置在一起,使點B,D,E在同一直線上,連接CE.
(1)如圖1,若∠ABC=∠ACB=∠ADE=∠AED=55°,求證:△BAD≌△CAE;
(2)在(1)的條件下,求∠BEC的度數(shù);
拓廣探索:(3)如圖2,若∠CAB=∠EAD=120°,BD=4,CF為△BCE中BE邊上的高,請直接寫出EF的長度.
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【題目】如圖.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A(1,﹣2),B(4,﹣1),C(3,﹣3)(正方形網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長都是1個單位長度).
(1)作出△ABC向左平移5個單位長度,再向下平移3個單位長度得到的△A1B1C1;
(2)以坐標(biāo)原點O為位似中心,相似比為2,在第二象限內(nèi)將△ABC放大,放大后得到△A2B2C2作出△A2B2C2;
(3)以坐標(biāo)原點O為旋轉(zhuǎn)中心,將△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△A3B3C3,作出△A3B3C3,并求線段AC掃過的面積.
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【題目】如圖,在菱形ABCD中,AC與BD相交于點O,AB=4,BD=4,E為AB的中點,點P為線段AC上的動點,則EP+BP的最小值為( )
A. 4B. 2C. 2D. 8
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【題目】如圖1,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,點E在AC上(且不與點A、C重合).在△ABC的外部作等腰Rt△CED,使∠CED=90°,連接AD,分別以AB,AD為鄰邊作平行四邊形ABFD,連接AF.
(1)求證:△AEF是等腰直角三角形;
(2)如圖2,將△CED繞點C逆時針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點E在線段BC上時,連接AE,求證:AF=AE;
(3)如圖3,將△CED繞點C繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn),當(dāng)平行四邊形ABFD為菱形,且△CED在△ABC的下方時,若AB=2,CE=2,求線段AE的長.
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【題目】如圖,在中,,,.動點在邊上,以點為圓心,長為半徑的分別交、于點、,連接.
若點為邊上的中點(如圖),請你判斷直線與的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
當(dāng)時(如圖),請你求出此時弦的長.
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