Question

【題目】在△ABC中，∠ACB＝45°，點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），連接AD，以AD為一邊在AD右側(cè)作正方形ADEF．

（1）如果AB＝AC，如圖1，且點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)，判斷∠BAD　 　∠CAF（填“＝”或“≠”），并證明：CF⊥BD

（2）如果AB≠AC，且點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出相應(yīng)的示意圖，此時(shí)（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說明理由；

（3）設(shè)正方形ADEF的邊DE所在直線與直線CF相交于點(diǎn)P，若AC＝4，CD＝2，求線段CP的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）＝，見解析；（2）AB≠AC時(shí)，CF⊥BD的結(jié)論成立，見解析；（3）線段CP的長(zhǎng)為1或3

【解析】

（1）證出∠BAC＝∠DAF＝90°，得出∠BAD＝∠CAF；可證△DAB≌△FAC（SAS），得∠ACF＝∠ABD＝45°，得出∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．即CF⊥BD．

（2）過點(diǎn)A作AG⊥AC交BC于點(diǎn)G，可得出AC＝AG，易證△GAD≌△CAF（SAS），得出∠ACF＝∠AGD＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．即CF⊥BD．

（3）分兩種情況去解答．①點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)，求出AQ＝CQ＝4．即DQ＝4﹣2＝2，易證△AQD∽△DCP，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得出CP＝1；②點(diǎn)D在線段BC延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，同理得出CP＝3．

（1）①解：∠BAD＝∠CAF，理由如下：

∵四邊形ADEF是正方形

∴∠DAF＝90°，AD＝AF

∵AB＝AC，∠BAC＝90°

∴∠BAD+∠DAC＝∠CAF+∠DAC＝90°

∴∠BAD＝∠CAF

故答案為：＝

②在△BAD和△CAF中，

∴△BAD≌△CAF（SAS）

∴CF＝BD

∴∠B＝∠ACF

∴∠B+∠BCA＝90°

∴∠BCA+∠ACF＝90°

∴∠BCF＝90°

∴CF⊥BD

（2）如圖2所示：AB≠AC時(shí)，CF⊥BD的結(jié)論成立．理由如下：

過點(diǎn)A作GA⊥AC交BC于點(diǎn)G

則∠GAD＝∠CAF＝90°+∠CAD

∵∠ACB＝45°

∴∠AGD＝45°

∴AC＝AG

在△GAD和△CAF中，，

∴△GAD≌△CAF（SAS），

∴∠ACF＝∠AGD＝45°，

∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°

∴CF⊥BD．

（3）過點(diǎn)A作AQ⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，

①點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖3所示：

∵∠BCA＝45°

∴△ACQ是等腰直角三角形

∴AQ＝CQ＝AC＝4

∴DQ＝CQ﹣CD＝4﹣2＝2

∵AQ⊥BC，∠ADE＝90°

∴∠DAQ+∠ADQ＝∠ADQ+∠PDC＝90°

∴∠DAQ＝∠PDC

∵∠AQD＝∠DCP＝90°

∴△DCP∽△AQD

∴＝，即＝

解得：CP＝1

②點(diǎn)D在線段BC延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖4所示：

∵∠BCA＝45°

∴AQ＝CQ＝4

∴DQ＝AQ+CD＝4+2＝6

∵AQ⊥BC于Q

∴∠Q＝∠FAD＝90°

∵∠C′AF＝∠C′CD＝90°，∠AC′F＝∠CC′D

∴∠ADQ＝∠AFC′

則△AQD∽△AC′F

∴CF⊥BD

∴△AQD∽△DCP

∴＝，即＝

解得：CP＝3

綜上所述，線段CP的長(zhǎng)為1或3．