【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,CD⊥AB于點D.點P從點D出發(fā),沿線段DC向點C運動,點Q從點C出發(fā),沿線段CA向點A運動,兩點同時出發(fā),速度都為每秒1個單位長度,當(dāng)點P運動到C時,兩點都停止.設(shè)運動時間為t秒.
(1)求線段CD的長;
(2)設(shè)△CPQ的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并確定在運動過程中是否存在某一時刻t,使得S△CPQ:S△ABC=9:100?若存在,求出t的值;若不存在,則說明理由.
(3)是否存在某一時刻t,使得△CPQ為等腰三角形?若存在,求出所有滿足條件的t的值;若不存在,則說明理由.
【答案】(1)線段CD的長為4.8;(2)當(dāng)t=秒或t=3秒時,S△CPQ:S△ABC=9:100;(3)當(dāng)t為2.4秒或秒或秒時,△CPQ為等腰三角形.
【解析】
試題分析:(1)利用勾股定理可求出AB長,再用等積法就可求出線段CD的長.
(2)過點P作PH⊥AC,垂足為H,通過三角形相似即可用t的代數(shù)式表示PH,從而可以求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;利用S△CPQ:S△ABC=9:100建立t的方程,解方程即可解決問題.
(3)可分三種情況進行討論:由CQ=CP可建立關(guān)于t的方程,從而求出t;由PQ=PC或QC=QP不能直接得到關(guān)于t的方程,可借助于等腰三角形的三線合一及三角形相似,即可建立關(guān)于t的方程,從而求出t.
解:(1)如圖1,∵∠ACB=90°,AC=8,BC=6,
∴AB=10.
∵CD⊥AB,
∴S△ABC=BCAC=ABCD.
∴CD===4.8.
∴線段CD的長為4.8;
(2)①過點P作PH⊥AC,垂足為H,如圖2所示.
由題可知DP=t,CQ=t.
則CP=4.8﹣t.
∵∠ACB=∠CDB=90°,
∴∠HCP=90°﹣∠DCB=∠B.
∵PH⊥AC,
∴∠CHP=90°.
∴∠CHP=∠ACB.
∴△CHP∽△BCA.
∴=.
∴=.
∴PH=﹣t.
∴S△CPQ=CQPH=t(﹣t)=﹣t2+t;
②存在某一時刻t,使得S△CPQ:S△ABC=9:100.
∵S△ABC=×6×8=24,且S△CPQ:S△ABC=9:100,
∴(﹣t2+t):24=9:100.
整理得:5t2﹣24t+27=0.
即(5t﹣9)(t﹣3)=0.
解得:t=或t=3.
∵0≤t≤4.8,
∴當(dāng)t=秒或t=3秒時,S△CPQ:S△ABC=9:100;
(3)存在
①若CQ=CP,如圖1,
則t=4.8﹣t.
解得:t=2.4.…(7分)
②若PQ=PC,如圖2所示.
∵PQ=PC,PH⊥QC,
∴QH=CH=QC=.
∵△CHP∽△BCA.
∴=.
∴=.
解得;t=.
③若QC=QP,
過點Q作QE⊥CP,垂足為E,如圖3所示.
同理可得:t=.
綜上所述:當(dāng)t為2.4秒或秒或秒時,△CPQ為等腰三角形.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中.矩形OABC的對角線OB,AC相交于點D,且BE∥AC,AE∥OB.如果OA=3,OC=2,則經(jīng)過點E的反比例函數(shù)解析式為( )
A. B. C. D.
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【題目】如圖,在ABCD中,M、N分別是AD,BC的中點,∠AND=90°,連接CM交DN于點O.
(1)求證:△ABN≌△CDM;
(2)過點C作CE⊥MN于點E,交DN于點P,若PE=1,∠1=∠2,求AN的長.
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【題目】下列結(jié)論正確的是( )
A. 0是正數(shù)也是有理數(shù) B. 兩數(shù)之積為正,這兩數(shù)同為正
C. 幾個數(shù)相乘,積的符號由負(fù)因數(shù)的個數(shù)決定 D. 互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等
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【題目】下表是國外城市與北京的時差 (帶正號的數(shù)表示同一時刻比北京時間早的時數(shù))
城市 | 紐約 | 巴黎 | 東京 | 多倫多 |
時差(時) | ﹣13 | ﹣7 | +1 | ﹣12 |
如果現(xiàn)在東京時間是16:00,那么紐約時間是__.(以上均為24小時制)
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【題目】已知一組數(shù)據(jù)有80個,其中最大值為143,最小值為50,取組距為10,則可分成( ).
A. 10組 B. 9組 C. 8組 D. 7組
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【題目】將拋物線y=x2向左平移2個單位,再向下平移3個單位,則得到的拋物線解析式是( 。
A.y=(x﹣2)2﹣3
B.y=(x﹣2)2+3
C.y=(x+2)2﹣3
D.y=(x+2)2+3
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【題目】下列因式分解錯誤的是( )
A. 2ax-a=a(2x-1)B. x2-2x+1=(x-1)2
C. 4ax2-a=a(2x-1)2D. ax2+2ax-3a=a(x-1)(x+3)
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