Question

【題目】如圖，在x軸上有兩點A(m，0)，B(n，0)(n>m>0)，分別過點A，B作x軸的垂

線交拋物線y＝x2于點C，D，直線OC交直線BD于點E，直線OD交直線AC于點F.點E，F的縱坐標分別為yE，yF.

(1)特例探究(填空)：

當m＝1，n＝2時，yE＝____，yF＝____；

當m＝3，n＝5時，yE＝____，yF＝____．

(2)歸納證明：對任意m,n(n>m>0)，猜想yE與yF的大小關系，并證明你的猜想．

(3)拓展應用：連結(jié)EF，AE，當S四邊形OFEB＝3S△OFE時，直接寫出m與n的關系及四邊形OFEA的形狀．

Answer 1

【答案】(1) 當m＝1，n＝2時，yE＝__2__， ＝__2__；當m＝3，n＝5時， ＝__15__，yF＝__15__．

(2) =.證明見解析．

(3) n＝2m,四邊形OFEA為平行四邊形.

【解析】分析：（1）已知A、B的坐標，根據(jù)拋物線的解析式，能得到C、D的坐標，進而能求出直線OC、OD的解析式，也就能得出E、F兩點的坐標，再進行比較即可．（2）已知A、B的坐標，根據(jù)拋物線的解析式，能得到C、D的坐標，進而能求出直線OC、OD的解析式，也就能得出E、F兩點的坐標，再進行比較即可．（3）四邊形OFEA的面積可分作△OEF、△OEA兩部分，根據(jù)給出的四邊形和△OFE的面積比例關系，能判斷出EF、OA的比例關系，進而得出m、n的比例關系，再對四邊形OFEA的形狀進行判定．

本題解析：

(1) 當m＝1，n＝2時，yE＝__2__，yF＝__2__；當m＝3，n＝5時，yE＝__15__，yF＝__15__.

(2)∵點C為拋物線y＝x2上的點，AC⊥x軸，∴xC＝xA＝m，∴點C(m，m2)．

易求得直線yOC＝mx，

又∵xE＝n，∴yE＝mn.

同理，點D(n，n2)，易求得直線yOD＝nx，

∴yF＝nm＝mn.∴yE＝yF.

(3)∵yE＝yF，AF⊥x軸，BE⊥x軸，

∴AF＝BE，AF∥BE，

∴四邊形ABEF為平行四邊形，

∴EF∥OB，EF＝AB＝n－m.

∴S四邊形OFEB＝ (n－m＋n)·yE＝ (2n－m)·yE，S△OFE＝ (n－m)·yE.

∵S四邊形OFEB＝3S△OFE，

∴ (2n－m)·yE＝3× (n－m)·yE，

∴2n－m＝3(n－m)，∴n＝2m.

此時EF＝n－m＝2m－m＝m＝OA，

∴EF平行且等于OA，∴四邊形OFEA為平行四邊形．