Question

【題目】如圖（1），已知點(diǎn)G在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，GE⊥BC，GF⊥CD．

（1）①求證：四邊形CEGF是正方形；②推斷：的值為　　：

（2）將正方形CEGF繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜45°），如圖（2）所示，試探究線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）正方形CEGF在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)B，E，F三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，如圖（3）所示，延長CG交AD于點(diǎn)H．若AG＝6，GH＝2，求正方形CEGF和正方形ABCD的邊長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）AG＝BE；（3）正方形CEGF的邊長為3，正方形ABCD的邊長為3．

【解析】

（1）①由GE⊥BC、GF⊥CD結(jié)合得∠BCD＝90°，可得四邊形CEGF是矩形，再由∠ECG＝45°即可得證；

②由正方形性質(zhì)知∠CEG＝∠B＝90°、∠ECG＝45°，據(jù)此可得＝、GE∥AB，利用平行線分線段成比例定理可得；

（2）連接CG，只需證△ACG∽△BCE即可得；

（3）證△AHG∽△CHA得＝，設(shè)BC＝CD＝AD＝a，知AC＝a，則由，得，計(jì)算AH＝，代入可得：a＝3，可得結(jié)論．

解：（1）①如圖（1），∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，

∵GE⊥BC、GF⊥CD，

∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，

∴四邊形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°，

∴EG＝EC，

∴四邊形CEGF是正方形；

②由①知四邊形CEGF是正方形，

∴∠CEG＝∠B＝90°，∠ECG＝45°，

∴＝，GE∥AB，

∴＝，

故答案為：；

（2）連接CG，

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知∠BCE＝∠ACG＝α，

在Rt△CEG和Rt△CBA中，＝cos45°＝，＝cos45°＝，

∴＝，

∴△ACG∽△BCE，

∴＝，

∴線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系為AG＝BE；

（3）∵∠CEF＝45°，點(diǎn)B、E、F三點(diǎn)共線，

∴∠BEC＝135°，

∵△ACG∽△BCE，

∴∠AGC＝∠BEC＝135°，

∴∠AGH＝∠CAH＝45°，

∵∠CHA＝∠AHG，

∴△AHG∽△CHA，

∴＝，

設(shè)BC＝CD＝AD＝a，則AC＝a，

則由，得

∴AH＝，

則DH＝AD﹣AH＝a，CH＝＝＝，

∴得＝，

解得：a＝3，即BC＝3，CH＝×＝5，

∴CG＝CH﹣GH＝5﹣2＝3，

∵四邊形CEGF是正方形，

∴CF＝3，

綜上，正方形CEGF的邊長為3，正方形ABCD的邊長為3．