【題目】我們規(guī)定:三角形任意兩邊的“極化值”等于第三邊上的中線和這邊一半的平方差.如圖1,在△ABC中,AO是BC邊上的中線,AB與AC的“極化值”就等于AO2﹣BO2的值,可記為AB△AC=AO2﹣BO2.
(1)在圖1中,若∠BAC=90°,AB=8,AC=6,AO是BC邊上的中線,則AB△AC= ,OC△OA= ;
(2)如圖2,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=120°,求AB△AC、BA△BC的值;
(3)如圖3,在△ABC中,AB=AC,AO是BC邊上的中線,點N在AO上,且ON=AO.已知AB△AC=14,BN△BA=10,求△ABC的面積.
【答案】(1)0,7;(2)﹣8,24;(3).
【解析】試題分析:(1)①先根據(jù)勾股定理求出BC=10,再利用直角三角形的性質(zhì)得出OA=OB=OC=5,最后利用新定義即可得出結(jié)論;
②再用等腰三角形的性質(zhì)求出CD=3,再利用勾股定理求出OD,最后用新定義即可得出結(jié)論;
(2)①先利用含30°的直角三角形的性質(zhì)求出AO=2,OB=,再用新定義即可得出結(jié)論;
②先構(gòu)造直角三角形求出BE,AE,再用勾股定理求出BD,最后用新定義即可得出結(jié)論;
(3)先構(gòu)造直角三角形,表述出OA,BD2,最后用新定義建立方程組求解即可得出結(jié)論.
試題解析:(1)①∵∠BAC=90°,AB=8,AC=6,∴BC=10,
∵點O是BC的中點,∴OA=OB=OC=BC=5,∴AB△AC=AO2﹣BO2=25﹣25=0,
②如圖1,取AC的中點D,連接OD,∴CD=AC=3,
∵OA=OC=5,∴OD⊥AC,
在Rt△COD中,OD==4,∴OC△OA=OD2﹣CD2=16﹣9=7,
故答案為:0,7;
(2)①如圖2,取BC的中點D,連接AO,∵AB=AC,∴AO⊥BC,
在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,∴∠ABC=30°,
在Rt△AOB中,AB=4,∠ABC=30°,∴AO=2,OB=,
∴AB△AC=AO2﹣BO2=4﹣12=﹣8,
②取AC的中點D,連接BD,∴AD=CD=AC=2,過點B作BE⊥AC交CA的延長線于E,在Rt△ABE中,∠BAE=180°﹣∠BAC=60°,∴∠ABE=30°,
∵AB=4,∴AE=2,BE=,∴DE=AD+AE=4,
在Rt△BED中,根據(jù)勾股定理得,BD= ==,
∴BA△BC=BD2﹣CD2=24;
(3)如圖3,設(shè)ON=x,OB=OC=y,∴BC=2y,OA=3x,
∵AB△AC=14,∴OA2﹣OB2=14,∴9x2﹣y2=14①,
取AN的中點D,連接BD,∴AD=DB=AN=×OA=ON=x,∴OD=ON+DN=2x,
在Rt△BOD中,BD2=OB2+OD2=y2+4x2,∵BN△BA=10,
∴BD2﹣DN2=10,∴y2+4x2﹣x2=10,∴3x2+y2=10②
聯(lián)立①②得: 或(舍),∴BC=4,OA=,∴S△ABC=BC×AO=.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足為D.
(1)求作∠ABC的平分線,分別交AD,AC于P,Q兩點;(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法)
(2)證明AP=AQ.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點P是菱形ABCD的對角線BD上一點,連接CP并延長,交AD于點E,交BA的延長線于點F.
(1)求證:△APD≌△CPD;
(2)求證:△APE∽△FPA;
(3)若PE=2,EF=6,求PC的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在水果銷售旺季,某水果店購進一優(yōu)質(zhì)水果,進價為20元/千克,售價不低于20元/千克,且不超過32元/千克,根據(jù)銷售情況,發(fā)現(xiàn)該水果一天的銷售量y(千克)與該天的售價x(元/千克)滿足如下表所示的一次函數(shù)關(guān)系.
銷售量y(千克) | … | 34.8 | 32 | 29.6 | 28 | … |
售價x(元/千克) | … | 22.6 | 24 | 25.2 | 26 | … |
(1)某天這種水果的售價為23.5元/千克,求當天該水果的銷售量.
(2)如果某天銷售這種水果獲利150元,那么該天水果的售價為多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,tan∠ACB=2,D在△ABC內(nèi)部,且AD=CD,∠ADC=90°,連接BD,若△BCD的面積為10,則AD的長為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平行四邊形的兩個頂點在反比例函數(shù)的圖象上,點在軸上,且兩點關(guān)于原點對稱,交軸于點,已知點的坐標是(2,3).
(1)求的值;
(2)若的面積為2,求點的坐標.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校舉辦園博會知識競賽,打算購買A、B兩種獎品.如果購買A獎品10件、B獎品5件,共需120元;如果購買A獎品5件、B獎品10件,共需90元.
(1)A,B兩種獎品每件各多少元?
(2)若購買A、B獎品共100件,總費用不超過600元,則A獎品最多購買多少件?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某高校學(xué)生會發(fā)現(xiàn)同學(xué)們就餐時剩余飯菜較多,浪費嚴重,于是準備在校內(nèi)倡導(dǎo)“光盤行動”,讓同學(xué)們珍惜糧食,為了讓同學(xué)們理解這次活動的重要性,校學(xué)生會在某天午餐后,隨機調(diào)查了部分同學(xué)就餐飯菜的剩余情況,并將結(jié)果統(tǒng)計后繪制成了如圖所示的不完整的統(tǒng)計圖.
(1)這次被調(diào)查的同學(xué)共有 名;
(2)補全條形統(tǒng)計圖;
(3)計算在扇形統(tǒng)計圖中剩大量飯菜所對應(yīng)扇形圓心角的度數(shù);
(4)校學(xué)生會通過數(shù)據(jù)分析,估計這次被調(diào)查的所有學(xué)生一餐浪費的食物可以供200人用一餐.據(jù)此估算,該校20000名學(xué)生一餐浪費的食物可供多少人食用一餐?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖(1),已知點G在正方形ABCD的對角線AC上,GE⊥BC,GF⊥CD.
(1)①求證:四邊形CEGF是正方形;②推斷:的值為 :
(2)將正方形CEGF繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)α角(0°<α<45°),如圖(2)所示,試探究線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系;
(3)正方形CEGF在旋轉(zhuǎn)過程中,當B,E,F三點在一條直線上時,如圖(3)所示,延長CG交AD于點H.若AG=6,GH=2,求正方形CEGF和正方形ABCD的邊長.
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