Question

【題目】涌泉鎮(zhèn)是中國(guó)無(wú)核蜜桔之鄉(xiāng)，已知某蜜桔種植大戶馮大爺?shù)拿劢鄢杀緸?/span>2元/千克，如果在未來(lái)90天蜜桔的銷售單價(jià)p（元/千克）與時(shí)間t（天）之間的函數(shù)關(guān)系式為p=，且蜜桔的日銷量y（千克）與時(shí)間t（天）滿足一次函數(shù)關(guān)系，其部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：

時(shí)間t/天	1	10	20	40	70	90
日銷售量y/千克	105	150	200	300	450	550

（1）求y與t之間的函數(shù)表達(dá)式；

（2）在未來(lái)90天的銷售中，預(yù)測(cè)哪一天的日銷售利潤(rùn)最大？最大日銷售利潤(rùn)為多少元？

（3）在實(shí)際銷售的后50天中，馮大爺決定每銷售1千克蜜桔就捐贈(zèng)n元利潤(rùn)（n＜5）給留守兒童作為助學(xué)金，銷售過(guò)程中馮大爺發(fā)現(xiàn)，恰好從第51天開(kāi)始，和前一天相比，扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤(rùn)逐日減少，請(qǐng)求出n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=5t+100；（2）前60天利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為3200元；（3）n的取值范圍為1.9≤n＜5．

【解析】

（1）運(yùn)用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）設(shè)第x天的銷售利潤(rùn)為w元．當(dāng)1≤t≤40時(shí)，由題意w=（12-2）（5t+100）=50t+1000；當(dāng)t=40時(shí)w最大值為3000元；當(dāng)41≤t≤90時(shí)，w=（5t+100）（-t+16-2）=-t2+60t+1400，再求函數(shù)最值；（3）設(shè)每天扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤(rùn)為m元．由題意m=（5t+100）（-t+16-2）-（5t+100）n=-t2+（60-5n）t+1400-100n，根據(jù)實(shí)際得49.5≤60-5n＜50.5，1.9＜n≤2.1，可進(jìn)一步求出n的取值范圍.

解：（1）設(shè)y=kt+b，把t=1，y=105；t=10，y=150代入得到：，

解得：，

∴y=5t+100；

（2）設(shè)第x天的銷售利潤(rùn)為w元．

當(dāng)1≤t≤40時(shí)，由題意w=（12-2）（5t+100）=50t+1000；

當(dāng)t=40時(shí)w最大值為3000元；

當(dāng)41≤t≤90時(shí)，w=（5t+100）（-t+16-2）=-t2+60t+1400，

∵對(duì)稱軸t=60，a=-＜0，

∴在對(duì)稱軸左側(cè)w隨x增大而增大，

∴t=60時(shí)，w最大值=3200，

綜上所述前60天利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為3200元．

（3）設(shè)每天扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤(rùn)為m元．

由題意m=（5t+100）（-t+16-2）-（5t+100）n=-t2+（60-5n）t+1400-100n，

∵在后50天中，每天扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤(rùn)隨時(shí)間t的增大而減少，

∴49.5≤60-5n＜50.5，

∴1.9＜n≤2.1．

又∵n＜5，

∴n的取值范圍為1.9≤n＜5．