Question

【題目】如圖①，在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，射線DE⊥BC交AB于點(diǎn)E．點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿射線DE以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)．以PD為斜邊，在射線DE的右側(cè)作等腰直角△DPQ．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．

（1）用含t的代數(shù)式表示線段EP的長．

（2）求點(diǎn)Q落在邊AC上時(shí)t的值．

（3）當(dāng)點(diǎn)Q在△ABC內(nèi)部時(shí)，設(shè)△PDQ和△ABC重疊部分圖形的面積為S（平方單位），求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段DE上時(shí)，EP =3-t；當(dāng)點(diǎn)P在DE的延長線上時(shí)，EP= t-3；（2）t=8s；（3）S=

【解析】

（1）分兩種情況進(jìn)行討論：點(diǎn)P在線段DE上，點(diǎn)P在DE的延長線上，根據(jù)線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算；

（2）當(dāng)點(diǎn)Q落在邊AC上時(shí)，過點(diǎn)Q作QF⊥DP于F，根據(jù)四邊形CDFQ是矩形，△DPQ是等腰直角三角形，求得DP＝2FQ＝8，即可得到t的值；

（3）分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)點(diǎn)P在線段DE上時(shí)，△PDQ和△ABC重疊部分為△DPQ，②當(dāng)點(diǎn)P在線段DE的延長線上時(shí)，△PDQ和△ABC重疊部分為四邊形EDQG，分別求得S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

解：（1）由題可得，DP=t，DE=AC=3，

當(dāng)點(diǎn)P在線段DE上時(shí)，EP=DE-DP=3-t；

當(dāng)點(diǎn)P在DE的延長線上時(shí)，EP=DP-DE=t-3；

（2）如圖所示，當(dāng)點(diǎn)Q落在邊AC上時(shí)，過點(diǎn)Q作QF⊥DP于F，

∵∠C=∠CDF=∠DFQ=90°，

∴四邊形CDFQ是矩形，

∴FQ=CD=BC=4，

∵△DPQ是等腰直角三角形，

∴DP=2FQ=8，

∴t==8（s）；

（3）①當(dāng)點(diǎn)P在線段DE上時(shí)，△PDQ和△ABC重疊部分為△DPQ，且DP=t，DP邊上的高為t，

∵點(diǎn)P從點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E處時(shí)，時(shí)間為3s，

∴當(dāng)0＜t≤3時(shí)，S=×t×t=，

②當(dāng)點(diǎn)P在線段DE的延長線上時(shí)，△PDQ和△ABC重疊部分為四邊形EDQG，

如圖所示，過G作GF⊥PE于F，則△GFE∽△BCA，且PF=GF，

∵AC=6，BC=8，

∴EF：FG=3：4，EF：FP=3：4，

∵PE=t-3，

∴FG=（t-3），

∴△PEG的面積=×PE×FG=×（t-3）2，

由（2）可知，點(diǎn)Q落在邊AC上時(shí)，t的值為8s，

∴當(dāng)3≤t＜8時(shí)，S=t2-×（t-3）2=．

綜上所述，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=．