【題目】如圖,在ABC中,ACBC,ACB120°,點DAB邊上一點,連接CD,以CD為邊作等邊CDE

1)如圖1,若CDB45°,AB6,求等邊CDE的邊長;

2)如圖2,點DAB邊上移動過程中,連接BE,取BE的中點F,連接CF,DF,過點DDGAC于點G

求證:CFDF

如圖3,將CFD沿CF翻折得CF,連接B,直接寫出的最小值.

【答案】1;(2證明見解析;

【解析】

1)過點CCHAB于點 H,由等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可得AB30°,AHBH3CH,由CDB45°,可得CDCH;

2延長BCN,使CNBC,由SAS可證CENCDA,可得ENADNA30°,由三角形中位線定理可得CFEN,CFEN,可得BCFN30°,可證DGCF,DGCF,即可證四邊形CFDG是矩形,可得結(jié)論;

SAS可證EFDBF,可得BDE,則當(dāng)CD取最小值時,有最小值,即可求解.

解:(1)如圖1,過點CCHAB于點 H,

ACBC,ACB120°CHAB,

∴∠AB30°,AHBH3

RtBCH中,tan∠B,

∴tan30°

CH

∵∠CDH45°,CHAB,

∴∠CDHDCH45°

DHCH,CDCH;

2如圖2,延長BCN,使CNBC,

ACBCACB120°,

∴∠AABC30°,NCA60°,

ECD是等邊三角形,

ECCD,ECD60°,

∴∠NCAECD

∴∠NCEDCA,

CECD,ACBCCN

CENCDA(SAS),

ENAD,NA30°

BCCN,BFEF,

CF∥EN,CFEN

∴∠BCFN30°,

∴∠ACFACBBCF90°

DGAC,

CF∥DG,

∵∠A30°DGAC,

DGAD,

DGCF

四邊形CFDG是平行四邊形,

∵∠ACF90°,

四邊形CFDG是矩形,

∴∠CFD90°

CFDF

如圖3,連接B,

CFD沿CF翻折得CF

CDC,DFF,CFDCF90°

EFBF,EFDBF,

EFDBF(SAS)

BDE,

BCD,

當(dāng)B取最小值時,有最小值,

當(dāng)CD取最小值時,有最小值,

當(dāng)CDAB時,CD有最小值,

ADCDAB2AD2CD,

最小值=

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