Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象的頂點(diǎn)為D點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），OB=OC，．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓與x軸相切，求該圓半徑的長度；
（3）如圖，若點(diǎn)G（2，y）是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AG下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，點(diǎn)P到直線AG的距離最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和點(diǎn)P到直線AG的最大距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)已知條件，易求得C、A的坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）根據(jù)拋物線和圓的對(duì)稱性，知圓心必在拋物線的對(duì)稱軸上，由于該圓與x軸相切，可用圓的半徑表示出M、N的坐標(biāo)，將其入拋物線的解析式中，即可求出圓的半徑；（需注意的是圓心可能在x軸上方，也可能在x軸下方，需要分類討論）
（3）易求得AC的長，由于AC長為定值，當(dāng)P到直線AG的距離最大時(shí)，△APG的面積最大．可過P作y軸的平行線，交AG于Q；設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線AG的解析式可求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，也就求出PQ的長，進(jìn)而可得出關(guān)于△APG的面積與P點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可求出△APG的最大面積及P點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)此時(shí)△APG的面積和AG的長，即可求出P到直線AC的最大距離．
解答：解：（1）方法一：由已知得：C（0，-3），A（-1，0）
將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得
解得：
所以這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x²-2x-3
方法二：由已知得：C（0，-3），A（-1，0）
設(shè)該表達(dá)式為：y=a（x+1）（x-3）
將C點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：a=1
所以這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x²-2x-3；
（注：表達(dá)式的最終結(jié)果用三種形式中的任一種都不扣分）

（2）如圖，
①當(dāng)直線MN在x軸上方時(shí)，設(shè)圓的半徑為R（R＞0），則N（R+1，R），
代入拋物線的表達(dá)式，解得；
②當(dāng)直線MN在x軸下方時(shí)，設(shè)圓的半徑為r（r＞0），則N（r+1，-r），
代入拋物線的表達(dá)式，解得，
∴圓的半徑為或；

（3）過點(diǎn)P作y軸的平行線與AG交于點(diǎn)Q，
易得G（2，-3），直線AG為y=-x-1；
設(shè)P（x，x²-2x-3），則Q（x，-x-1），PQ=-x²+x+2；

當(dāng)時(shí)，△APG的面積最大為；
∵，P到AG的最大距離為，
此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、切線的性質(zhì)、圖形面積的求法等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，能力要求較高．考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．