【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+6經(jīng)過兩點A(﹣1,0),B(3,0),C是拋物線與y軸的交點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P(m,n)在平面直角坐標系第一象限內(nèi)的拋物線上運動,設(shè)△PBC的面積為S,求S關(guān)于m的函數(shù)表達式(指出自變量m的取值范圍)和S的最大值;
(3)點M在拋物線上運動,點N在y軸上運動,是否存在點M、點N使得∠CMN=90°,且△CMN與△OBC相似,如果存在,請求出點M和點N的坐標.
【答案】(1)y=﹣2x2+4x+6;(2)S△PBC=﹣3m2+9m(0<m<3);(3)M(1,8),N(0,)或M(,),N(0,)或M(,),N(0,)或M(3,0),N(0,﹣)
【解析】
(1)根據(jù)點A、B的坐標利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;
(2)過點P作PF∥y軸,交BC于點F,利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出點C的坐標,根據(jù)點B、C的坐標利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式,設(shè)點P的坐標為(m,﹣2m2+4m+6),則點F的坐標為(m,﹣2m+6),進而可得出PF的長度,利用三角形的面積公式可得出S△PBC=﹣3m2+9m,配方后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出△PBC面積的最大值;
(3)分兩種不同情況,當點M位于點C上方或下方時,畫出圖形,由相似三角形的性質(zhì)得出方程,求出點M,點N的坐標即可.
(1)將A(﹣1,0)、B(3,0)代入y=ax2+bx+6,
得:,解得:,
∴拋物線的解析式為y=﹣2x2+4x+6.
(2)過點P作PF∥y軸,交BC于點F,如圖1所示.
當x=0時,y=﹣2x2+4x+6=6,
∴點C的坐標為(0,6).
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+c,
將B(3,0)、C(0,6)代入y=kx+c,得:
,解得:,
∴直線BC的解析式為y=﹣2x+6.
設(shè)點P的坐標為(m,﹣2m2+4m+6),則點F的坐標為(m,﹣2m+6),
∴PF=﹣2m2+4m+6﹣(﹣2m+6)=﹣2m2+6m,
∴,
∴當時,△PBC面積取最大值,最大值為 .
∵點P(m,n)在平面直角坐標系第一象限內(nèi)的拋物線上運動,
∴0<m<3.
(3)存在點M、點N使得∠CMN=90°,且△CMN與△OBC相似.
如圖2,∠CMN=90°,當點M位于點C上方,過點M作MD⊥y軸于點D,
∵∠CDM=∠CMN=90°,∠DCM=∠NCM,
∴△MCD∽△NCM,
若△CMN與△OBC相似,則△MCD與△NCM相似,
設(shè)M(a,﹣2a2+4a+6),C(0,6),
∴DC=﹣2a2+4a,DM=a,
當 時,△COB∽△CDM∽△CMN,
∴ ,
解得,a=1,
∴M(1,8),
此時,
∴N(0,),
當時,△COB∽△MDC∽△NMC,
∴ ,
解得 ,
∴M(,),
此時N(0,).
如圖3,當點M位于點C的下方,
過點M作ME⊥y軸于點E,
設(shè)M(a,﹣2a2+4a+6),C(0,6),
∴EC=2a2﹣4a,EM=a,
同理可得:或,△CMN與△OBC相似,
解得或a=3,
∴M(,)或M(3,0),
此時N點坐標為,N(0,)或N(0,﹣).
綜合以上得,M(1,8),N(0,)或M(,),N(0,)或M(,),,N(0,)或M(3,0),N(0,﹣),使得∠CMN=90°,且△CMN與△OBC相似.
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【題目】已知,,,斜邊,將繞點順時針旋轉(zhuǎn),如圖1,連接.
(1)填空: ;
(2)如圖1,連接,作,垂足為,求的長度;
(3)如圖2,點,同時從點出發(fā),在邊上運動,沿路徑勻速運動,沿路徑勻速運動,當兩點相遇時運動停止,已知點的運動速度為1.5單位秒,點的運動速度為1單位秒,設(shè)運動時間為秒,的面積為,求當為何值時取得最大值?最大值為多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點O為坐標原點,菱形ABCD的頂點B在x軸的正半軸上,點A坐標為(-4,0),點D的坐標為(-1,4),反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過點C,則k的值為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校團委為了解該校七年級學(xué)生最喜歡的課余活動情況,采用隨機抽樣的方法進行了問卷調(diào)查,被調(diào)查學(xué)生必須從“運動、娛樂、閱讀、其他”四項中選擇其中的一項,以下是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的統(tǒng)計圖表的一部分,
活動類型 | 頻數(shù)(人數(shù)) | 頻率 |
運動 | 20 | |
娛樂 | 40 | |
閱讀 | ||
其他 | 0.1 |
根據(jù)以上圖表信息,解答下列問題:
(1)在被調(diào)查的學(xué)生中,最喜歡“運動”的學(xué)生人數(shù)為 人,最喜歡“娛樂”的學(xué)生人數(shù)占被調(diào)查學(xué)生人數(shù)的百分比為 %.
(2)本次調(diào)查的樣本容量是 ,最喜歡“其他”的學(xué)生人數(shù)為 人.
(3)若該校七年級共有360名學(xué)生,試估計最喜歡“閱讀”的學(xué)生人數(shù).
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【題目】觀察下列等式:
2+22=23﹣2;
2+22+23=24﹣2;
2+22+23+24=25﹣2;
2+22+23+24+25=26﹣2;
…
已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù):220,221,222,223,224,…,238,239,240,若220=m,則220+221+222+223+224+…+238+239+240=_____(結(jié)果用含m的代數(shù)式表示).
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,AE是∠BAC的平分線,∠ABC的平分線BM交AE于點M,點O在AB上,以點O為圓心,OB的長為半徑的圓經(jīng)過點M,交BC于點G,交AB于點F.
(1)求證:AE為⊙O的切線.
(2)當BC=8,AC=12時,求⊙O的半徑.
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【題目】九年級數(shù)學(xué)小組經(jīng)過市場調(diào)查,得到某種運動服的月銷量y(件)是售價x(元/件)的一次函數(shù),其售價、月銷售量、月銷售利潤w(元)的三組對應(yīng)值如下表:
售價x(元/件) | 120 | 160 | 190 |
月銷售量y(件) | 260 | 180 | 120 |
月銷售利潤w(元) | 5200 | 10800 | 10800 |
注:月銷售利潤月銷售量×(售價進價)
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式(不要求寫出自變量的取值范圍).
(2)求當售價為多少元時,月銷售利潤最大,并求最大利潤是多少?
(3)由于某種原因,該商品進價降低了m元/件,商家規(guī)定該運動服售價不得低于180元/件,該商店在今后的銷售中,月銷售量與售價仍然滿足(1)中的函數(shù)關(guān)系.若月銷售最大利潤是14000元,求m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系xoy中,直線與軸,軸分別交于點A和點B.拋物線經(jīng)過A,B兩點,且對稱軸為直線,拋物線與軸的另一交點為點C.
(1)求拋物線的函數(shù)表達式;
(2)設(shè)點E是拋物線上一動點,且點E在直線AB下方.當△ABE的面積最大時,求點E的坐標,及△ABE面積的最大值S;
拋物線上是否還存在其它點M,使△ABM的面積等于中的最大值S,若存在,求出滿足條件的點M的坐標;若不存在,說明理由;
(3)若點F為線段OB上一動點,直接寫出的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,折疊矩形ABCD的一邊AD,使點D落在BC邊的點F處,已知折痕AE=5cm, 且tan∠EFC=,那么矩形ABCD的周長_____________cm.
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