Question

【題目】如圖①，矩形紙片ABCD的邊長(zhǎng)分別為a、b（a＜b），點(diǎn)M、N分別為邊AD、BC上兩點(diǎn)（點(diǎn)A、C除外），連接MN．

（1）如圖②，分別沿ME、NF 將MN兩側(cè)紙片折疊，使點(diǎn)A、C分別落在MN上的A′、C′處，直接寫出ME與FN的位置關(guān)系；

（2）如圖③，當(dāng)MN⊥BC 時(shí)，仍按（1）中的方式折疊，請(qǐng)求出四邊形A′EBN與四邊形C′FDM 的周長(zhǎng)（用含a的代數(shù)式表示），并判斷四邊形A′EBN與四邊形C′FDM周長(zhǎng)之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）如圖④，若對(duì)角線BD與MN交于點(diǎn)O，分別沿BM、DN將MN兩側(cè)紙片折疊，折疊后，點(diǎn)A、C恰好都落在點(diǎn)O處，并且得到的四邊形BNDM是菱形，請(qǐng)你探索a、b之間的數(shù)量關(guān)系.

Answer 1

【答案】（1）EM∥NF ；（2）的周長(zhǎng)與的周長(zhǎng)相等；（3）

【解析】（1）先根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得到∠EMN=∠AMN，∠FNC′=∠MNC，再由平行線的性質(zhì)可得到∠AMN=∠MNC，由平行線的判定定理即可得到ME∥FN；

（2）由折疊得知：A′E=AE，根據(jù)四邊形A′EBN是矩形，即可求出四邊形A′EBN的即四邊形C′FDM的周長(zhǎng)；

（3）根據(jù)折疊的性質(zhì)可知OD=CD=OB=a，在△BCD中利用勾股定理即可求出b的值.

（1）EM∥NF ；

（2）∵矩形ABCD，

∴∠A=90°=∠B，

∵△AEM沿EM折疊到△

∴∠，AE=

∵MN⊥BC，

∴∠MNB=90°，

∴有矩形 ，

∴其周長(zhǎng)為 ，

同理 四邊形也為矩形，周長(zhǎng)為，

，

∴的周長(zhǎng)與的周長(zhǎng)相等；

（3）∵四邊形BNDM是菱形，

∴BM=MD，BD⊥MN，BO=DO，MO=NO，∠MBO=∠NBO，

∵△ABM沿BM折疊到△OBM，

∴AB=OB，AM=MO，∠ABM=∠OBM，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，

∴∠MBO=30°，

在Rt△MBO中，∠MOB=90°，

∴BM=2MO，

設(shè)MO=x，BM=2x，

BO=

AD=AM+MD=BM+MO=3x

∴，即.