【題目】在△ABC,AO=BO,直線MN經(jīng)過點(diǎn)O, ACMNC,BDMND

(1) 當(dāng)直線MN繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時(shí),求證:CD=AC+BD;

(2) 當(dāng)直線MN繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí),求證:CD=AC-BD;

(3) 當(dāng)直線MN繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時(shí),試問:CD、AC、BD有怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系,并加以證明。

【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)CD=BD-AC,證明見解析.

【解析】試題分析:1)通過證明ACO≌△ODB得到OC=BD,AC=OD,則CD=AC+BD;

2)通過證明ACO≌△ODB得到OC=BD,AC=OD,則CD=AC-BD;

3)通過證明ACO≌△ODB得到OC=BD,AC=OD,則CD=BD-AC

試題解析:1)如圖1,

∵△AOB中,∠AOB=90°,

∴∠AOC+BOD=90°,

直線MN經(jīng)過點(diǎn)O,且ACMNCBDMND,

∴∠ACO=BDO=90°

∴∠AOC+OAC=90°

∴∠OAC=BOD,

ACOODB中,

∴△ACO≌△ODBAAS),

OC=BD,AC=OD,

CD=AC+BD;

2)如圖2,

∵△AOB中,∠AOB=90°,

∴∠AOC+BOD=90°,

直線MN經(jīng)過點(diǎn)O,且ACMNCBDMND,

∴∠ACO=BDO=90°

∴∠AOC+OAC=90°

∴∠OAC=BOD,

ACOODB中,

,

∴△ACO≌△ODBAAS),

OC=BDAC=OD,

CD=OD﹣OC=AC﹣BD,即CD=AC﹣BD

3)如圖3,

∵△AOB中,∠AOB=90°,

∴∠AOC+BOD=90°,

直線MN經(jīng)過點(diǎn)O,且ACMNC,BDMND,

∴∠ACO=BDO=90°

∴∠AOC+OAC=90°,

∴∠OAC=BOD,

ACOODB中,

,

∴△ACO≌△ODBAAS),

OC=BDAC=OD,

CD=OC﹣OD=BD﹣AC,

CD=BD﹣AC

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