Question

【題目】已知拋物線y=3ax2+2bx+c．
（1）若a=b=1，c=﹣1，求拋物線與x軸公共點的坐標；
（2）若a=b=1，且當﹣1＜x＜1時，拋物線與x軸有且只有一個公共點，求c的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a=b=1，c=﹣1，

∴拋物線的解析式為y=3x2+2x﹣1，

令y=3x2+2x﹣1=0，解得：x=﹣1或 ，

∴拋物線與x軸的交點坐標為：（﹣1，0），（ ，0）

（2）解：∵a=b=1，

∴解析式為y=3x2+2x+c．

∵對稱軸x=﹣ =﹣ ，

∴當﹣1＜x＜1時，拋物線與x軸有且只有一個公共點，

則①此公共點一定是頂點，

∴△=4﹣12c=0，

②一個交點的橫坐標小于等于﹣1，另一交點的橫坐標小于1而大于﹣1，

∴3﹣2+c≤0，3+2+c＞0，

解得﹣5＜c≤﹣1．

綜上所述，c的取值范圍是：c= 或﹣5＜c≤﹣1

【解析】（1）將a、b、c的值代入拋物線后求得解析式，令y=0求出x的值就是交點坐標的橫坐標；（2）根據其在此范圍內有一個交點，此時將兩個值代入，分別大于零和小于零，進而求出相應的取值范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解拋物線與坐標軸的交點(一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．)．