【題目】已知:如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸相交于AB兩點,與y軸相交于點C,若A(﹣1,0),且OC=3OA.
(1)填空:b= ,c= ;
(2)在圖1中,若點M為拋物線上第四象限內一動點,順次連接AC,CM,MB,求四邊形ACMB面積的最大值;
(3)在圖2中,將直線BC沿x軸翻折交y軸于點N,過點B的直線與拋物線相交于點D.若∠NBD=∠OCA,請直接寫出點D的坐標.
【答案】(1)﹣2,﹣3;(2);(3)點D的坐標為(﹣,)或(﹣3,12).
【解析】
(1)由A(1,0)與OC=3OA求點C坐標,把點A、C代入用待定系數(shù)法求拋物線解析式,即求得b、c的值.
(2)連接BC,把四邊形ACMB分成△ABC與△BCM.求點B坐標,進而求△ABC面積和直線BC解析式.設點M橫坐標為m,過點M作MF⊥x軸于點F,交BC于點E,用m表示EM的長.把△BCM分成△BEM與△CEM求面積和,得到關于m的二次函數(shù)關系式,配方即得到△BCM面積最大值,進而求得四邊形ACMB面積的最大值.
(3)由OC=3OA求得tan∠OCA的值,求點N坐標和BN的長.過點N作GN⊥BN,根據(jù)∠NBD=∠OCA可得tan∠NBD=,即求得NG的長,進而用勾股定理求得BN的長.設點G坐標為(s,t),用s、t表示NG2,BG2的值,即列得關于s、t的方程組,求解得兩個滿足條件的點G.求直線BG解析式,與拋物線解析式聯(lián)立方程組即求得點D坐標.
解:(1)∵A(﹣1,0)
∴OA=1
∴OC=3OA=3
∴C(0,﹣3)
∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A、C
∴ 解得:
故答案為:﹣2,﹣3.
(2)如圖1,連接BC,過點M作MF⊥x軸于點F,交BC于點E
∵拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3
∴當x2﹣2x﹣3=0時,解得:x1=﹣1,x2=3
∴B(3,0),AB=3﹣(﹣1)=4
∴S△ABC=ABOC=×4×3=6
設直線BC解析式為:y=kx﹣3
把點B代入得:3k﹣3=0,解得:k=1
∴直線BC:y=x﹣3
∵點M為拋物線上第四象限內的點
∴設點M坐標為(m,m2﹣2m﹣3)(0<m<3)
∴E(m,m﹣3)
∴EM=m﹣3﹣(m2﹣2m﹣3)=﹣m2+3m=﹣(m﹣)2+
∴S△BCM=S△BEM+S△CEM
=EMBF+EMOF
=EM(BF+OF)
=EMOB
=[﹣(m﹣)2+]
=﹣(m﹣)2+
∴S四邊形ACMB=S△ABC+S△BCM=6﹣(m﹣)2+=﹣(m﹣)2+
∴四邊形ACMB面積的最大值為.
(3)過點N作NG⊥BN,交直線BD于點G
∴∠BNG=∠AOC=90°
∵OC=3OA
∴Rt△AOC中,tan∠OCA=
∵∠NBD=∠OCA
∴tan∠NBD=tan∠OCA=
∴Rt△BNG中,tan∠NBD=
∵B(3,0),C(0,﹣3),將直線BC沿x軸翻折交y軸于點N
∴N(0,3)
∴BN=
∴NG=BN=
∴BG=
設點G坐標為(s,t)
∴NG2=s2+(t﹣3)2,BG2=(3﹣s)2+t2
∴解得:,
∴點G坐標為(﹣1,2)或(1,4)
①G(﹣1,2),設直線BG解析式為y=ax+g
∴ 解得:
∴直線BG:y=﹣x+
∵ 解得:,(即點B)
∴D(﹣,)
②G(1,4),設設直線BG解析式為y=px+q
∴ 解得:
∴直線BG:y=-2x+6
∵ 解得:,(即點B)
∴D (﹣3,12)
綜上所述,若∠NBD=∠OCA/span>,點D的坐標為(﹣,)或(﹣3,12).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:在中,,,過點、向過點的直線作垂線,垂足分別為、,交于點.
(1)如圖,求證:;
(2)如圖,連接、,若,在不添加任何輔助線的情況下,請直接寫出四個角,使寫出的每一個角的正切值都等于.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,點P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P3(x3,y3),……,Pn(xn,yn)均在反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象上,點Q1、Q2、Q3、……、Qn均在x軸的正半軸上,且△OP1Q1、△Q1P2Q2、△Q2P3Q3、…、△Qn﹣1PnQn均為等腰直角三角形,OQ1、Q1Q2、Q2Q3、……、Qn﹣1Qn分別為以上等腰直角三角形的底邊,則y1+y2+y3+…+y2019的值等于_____.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】中國古代有若輝煌的數(shù)學成就,《周髀算經(jīng)》,《九章算術》,《海島算經(jīng)》(分別用字母A、B、C依次表示這三部專著)等是我國古代數(shù)學的重要文獻.將A、B、C這三個字母分別寫在3張完全相同的不透明卡片的正面上,把這3張卡片背面朝上洗均后放在桌面上小明先從中隨機抽取張卡片,記錄下卡片上的字母,放回后洗均,再由小強從中隨機抽取張卡片,請用列表法或畫樹狀圖法,求小明和小強抽到的卡片上的字母相同的概率.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形OABC在平面直角坐標系中,O為坐標原點,點A(0,4),C(2,0),將矩形OABC繞點O按順時針方向旋轉1350,得到矩形EFGH(點E與O重合).
(1)若GH交y軸于點M,則∠FOM= ,OM= ;
(2)矩形EFGH沿y軸向上平移t個單位.
①直線GH與x軸交于點D,若AD∥BO,求t的值;
②若矩形EFHG與矩形OABC重疊部分的面積為S個平方單位,試求當0<t≤時,S與t之間的函數(shù)關系式.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線與軸交于點、兩點,與軸交于點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點從點出發(fā),在線段上以每秒3個單位長度的速度向點運動,同時點從點出發(fā),在線段上以每秒1個單位長度的速度向點運動,其中一個點到達終點時,另一個點也停止運動,當存在時,求運動多少秒使的面積最大,最大面積是多少?
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