如圖,拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn),與軸交于C點(diǎn),四邊形OBHC為矩形,CH的延長線交拋物線于點(diǎn)D(5,2),連結(jié)BC、AD.
(1)求C點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的解析式;
(2)將△BCH繞點(diǎn)B按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90º后再沿軸對(duì)折得到△BEF(點(diǎn)C與點(diǎn)E對(duì)應(yīng)),判斷點(diǎn)E是否落在拋物線上,并說明理由;
(3)設(shè)過點(diǎn)E的直線交AB邊于點(diǎn)P,交CD邊于點(diǎn)Q. 問是否存在點(diǎn)P,使直線PQ分梯形ABCD的面積為1∶3兩部分?若存在,求出P點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
解:(1)∵四邊形OBHC為矩形,∴CD∥AB, 又D(5,2), ∴C(0,2),OC=2 . …1 分
∴ 解得
∴拋物線的解析式為: …… 4分
(2)點(diǎn)E落在拋物線上. 理由如下:
由y = 0,得.
解得x1=1,x2=4. ∴A(4,0),B(1,0). …… 5分 ∴OA=4,OB=1.
由矩形性質(zhì)知:CH=OB=1,BH=OC=2,∠BHC=90°,
由旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱性質(zhì)知:EF=1,BF=2,∠EFB=90°, ∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3,-1).… 7分
把x=3代入,得, ∴點(diǎn)E在拋物線上. … 8分
(3)存在點(diǎn)P(a,0),延長EF交CD于點(diǎn)G,易求OF=CG=3,PB=a-1.
S梯形BCGF = 5,S梯形ADGF = 3,記S梯形BCQP = S1,S梯形ADQP = S2,
下面分兩種情形: ①當(dāng)S1∶S2 =1∶3時(shí),,
此時(shí)點(diǎn)P在點(diǎn)F(3,0)的左側(cè),則PF = 3-a,
由△EPF∽△EQG,得,則QG=9-3a,∴CQ=3-(9-3a) =3a -6
由S1=2,得,解得; …… 10分
②當(dāng)S1∶S2=3∶1時(shí),, 此時(shí)點(diǎn)P在點(diǎn)F(3,0)的右側(cè),則PF = a-3,
由△EPF∽△EQG,得QG = 3a-9,∴CQ = 3 +(3 a-9)= 3 a-6,由S1= 6,
得,解得.
綜上所述:所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,0)或(,0)…… 12分
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,拋物線與軸交于(,0)、(,0)兩點(diǎn),且,與軸交于點(diǎn),其中是方程的兩個(gè)根。(14分)
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作∥,交于點(diǎn),連接,當(dāng)的面積最大時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)在(1)中拋物線上,
點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),在軸上是
否存在點(diǎn),使以為頂
點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,如果存在,
求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo),
若不存在,請(qǐng)說明理由。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,拋物線與軸交于兩點(diǎn),與軸相交于點(diǎn).連結(jié)AC、BC,B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為B(1,0)、,且當(dāng)x=-10和x=8時(shí)函數(shù)的值相等.
1.求a、b、c的值;
2.若點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā),均以每秒1個(gè)單位長度的速度分別沿邊運(yùn)動(dòng),其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).連結(jié),將沿翻折,當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為幾秒時(shí),點(diǎn)恰好落在邊上的處?并求點(diǎn)的坐標(biāo)及四邊形的面積;
3.上下平移該拋物線得到新的拋物線,設(shè)新拋物線的頂點(diǎn)為D,對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為E,若△ODE與△OBC相似,求新拋物線的解析式。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2013屆四川省鹽邊縣紅格中學(xué)九年級(jí)下學(xué)期摸底考試數(shù)學(xué)試卷(帶解析) 題型:解答題
如圖,拋物線與軸交于兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn).
(1)請(qǐng)求出拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)(用含的代數(shù)式表示),兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)經(jīng)探究可知,與的面積比不變,試求出這個(gè)比值;
(3)是否存在使為直角三角形的拋物線?若存在,請(qǐng)求出;如果不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2012屆仙師中學(xué)九年級(jí)第一次月考試考試數(shù)學(xué)卷 題型:選擇題
如圖,拋物線與軸交于(,0)、(,0)兩點(diǎn),且,與軸交于點(diǎn),其中是方程的兩個(gè)根。(14分)
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作∥,交于點(diǎn),連接,當(dāng)的面積最大時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)在(1)中拋物線上,
點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),在軸上是
否存在點(diǎn),使以為頂
點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,如果存在,
求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo),
若不存在,請(qǐng)說明理由。
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