Question

【題目】我們知道，經(jīng)過原點的拋物線解析式可以是。

（1）對于這樣的拋物線：

當頂點坐標為（1，1）時，a= ；

當頂點坐標為（m，m），m≠0時，a 與m之間的關(guān)系式是 ；

（2）繼續(xù)探究，如果b≠0，且過原點的拋物線頂點在直線上，請用含k的代數(shù)式表示b；

（3）現(xiàn)有一組過原點的拋物線，頂點A1，A2，…，An在直線上，橫坐標依次為1，2，…，n（n為正整數(shù)，且n≤12），分別過每個頂點作x軸的垂線，垂足記為B1，B2，B3，…，Bn，以線段AnBn為邊向右作正方形AnBnCnDn，若這組拋物線中有一條經(jīng)過點Dn，求所有滿足條件的正方形邊長。

Answer 1

【答案】（1）－1；（2）（3）3，6，9

【解析】

解：（1）－1；。

（2）∵過原點的拋物線頂點在直線上，∴。

∵b≠0，∴。

（3）由（2）知，頂點在直線上，橫坐標依次為1，2，…，n（n為正整數(shù)，且n≤12）的拋物線為：，即。

對于頂點在在直線上的一點Am（m，m）（m為正整數(shù)，且m≤n），依題意，作的正方形AmBmCmDm邊長為m，點Dm坐標為（2 m，m），

若點Dm在某一拋物線上，則

，化簡，得。

∵m，n為正整數(shù)，且m≤n≤12，∴n=4，8，12，m=3，6，9。

∴所有滿足條件的正方形邊長為3，6，9。

（1）當頂點坐標為（1，1）時，由拋物線頂點坐標公式，有，即。

當頂點坐標為（m，m），m≠0時，。

（2）根據(jù)點在直線上，點的坐標滿足方程的關(guān)系，將拋物線頂點坐標代入，

化簡即可用含k的代數(shù)式表示b。

由于拋物線與直線只有一個公共點，意味著聯(lián)立解析式后得到的一元二次方程，其根的判別式等于0，由此可求出m的值和D點坐標。

（3）將依題意，作的正方形AmBmCmDm邊長為m，點Dm坐標為（2 m，m），將（2 m，m）代入拋物線求出m，n的關(guān)系，即可求解。