【題目】已知△ABC是等腰三角形,AB=AC

1)特殊情形:如圖1,當(dāng)DE∥BC時,有DB EC.(填,“=”

2)發(fā)現(xiàn)探究:若將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)αα180°)到圖2位置,則(1)中的結(jié)論還成立嗎?若成立,請給予證明;若不成立,請說明理由.

3)拓展運(yùn)用:如圖3P是等腰直角三角形ABC內(nèi)一點(diǎn),∠ACB=90°,且PB=1,PC=2PA=3,求∠BPC的度數(shù).

【答案】(1=;(2)成立,證明見解析;(3135°.

【解析】試題分析:(1)由DE∥BC,得到,結(jié)合AB=AC,得到DB=EC

2)由旋轉(zhuǎn)得到的結(jié)論判斷出△DAB≌△EAC,得到DB=CE

3)由旋轉(zhuǎn)構(gòu)造出△CPB≌△CEA,再用勾股定理計(jì)算出PE,然后用勾股定理逆定理判斷出△PEA是直角三角形,在簡單計(jì)算即可.

試題解析:(1∵DE∥BC

,

∵AB=AC

∴DB=EC,

故答案為=,

2)成立.

證明:由易知AD=AE,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知∠DAB=∠EAC

∵AD=AE,AB=AC

∴△DAB≌△EAC

∴DB=CE,

3)如圖,

△CPB繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90°△CEA,連接PE,

∴△CPB≌△CEA,

∴CE=CP=2,AE=BP=1,∠PCE=90°

∴∠CEP=∠CPE=45°,

Rt△PCE中,由勾股定理可得,PE=,

△PEA中,PE2=2=8,AE2=12=1,PA2=32=9,

∵PE2+AE2=AP2

∴△PEA是直角三角形

∴∠PEA=90°,

∴∠CEA=135°,

∵△CPB≌△CEA

∴∠BPC=∠CEA=135°

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