【題目】如圖,△ABC為等邊三角形,點P是線段AC上一動點(點P不與A,C重合),連接BP,過點A作直線BP的垂線段,垂足為點D,將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE,連接DE,CE

1)求證:BDCE;

2)延長EDBC于點F,求證:FBC的中點;

3)在(2)的條件下,若△ABC的邊長為1,直接寫出EF的最大值.

【答案】1)見解析;(2)見解析;(31

【解析】

1)由等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得DABCAE,ABACADAE,即可證△ADB≌△AEC,可得BDCE;

2)過點CCG//BP,交EF的延長線于點G,由等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)可得CGBD,BDGGBFDGFC,可證△BFD≌△CFG,可得結(jié)論;

3)由題意可證點A,點F,點C,點E四點在以AC為直徑的圓上,由直徑是圓的最大弦可得EF的最大值.

證明:(1)∵將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE

ADAE,DAE60°

∴△ADE是等邊三角形

∵△ABC為等邊三角形

ABAC,BACDAE60°

DABCAE,且ABAC,ADAE

∴△ADB≌△AECSAS

BDCE

2)如圖,過點CCGBP,交EF的延長線于點G

ADB90°,ADE60°

BDG30°

CGBP

GBDG30°

∵△ADB≌△AEC

BDCE,ADBAEC90°

GECAECAED30°

GGEC30°

GCCE

CGBD,且BDGG,BFDGFC

∴△BFD≌△CFGAAS

BFFC

∴點FBC中點

3)如圖,連接AF,

∵△ABC是等邊三角形,BFFC

AFBC

AFC90°

AFCAEC90°

∴點A,點F,點C,點E四點在以AC為直徑的圓上

EF最大為直徑,

即最大值為1

練習(xí)冊系列答案
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設(shè),則,..

請解決下列問題:

1)類比求解:求出的值;

2)問題解決:如圖2,某住宅樓的后面有一建筑物,當光線與地面的夾角是時,住宅在建筑物的墻上留下高的影子;而當光線與地面的夾角是時,住宅樓頂在地面上的影子與墻角的距離(,,在一條直線上).求住宅樓的高度(結(jié)果保留根號);

3)探究發(fā)現(xiàn):如圖3,小明用硬紙片做了兩個直角三角形,在中,,,;在中,,.他將的斜邊的斜邊重合在一起,并將沿方向移動.在移動過程中,,兩點始終在邊上(移動開始時點與點重合).探究在移動過程中,是否存在某個位置,使得?如果存在,直接寫出的長度;如果不存在,請說明理由.

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1)請直接寫出124位循環(huán)數(shù)   ,并證明對于任意一個24位循環(huán)數(shù),若交換其循環(huán)節(jié)的數(shù)字得到一個新的4位數(shù),則該新數(shù)和原數(shù)的差能夠被9整除.

2)已知一個能被9整除的24位數(shù).設(shè)循環(huán)節(jié)為ab,且滿足a2b為非負偶數(shù),求這個4位循環(huán)數(shù).

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