【題目】如圖,△ABC為等邊三角形,點P是線段AC上一動點(點P不與A,C重合),連接BP,過點A作直線BP的垂線段,垂足為點D,將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE,連接DE,CE.
(1)求證:BD=CE;
(2)延長ED交BC于點F,求證:F為BC的中點;
(3)在(2)的條件下,若△ABC的邊長為1,直接寫出EF的最大值.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)1
【解析】
(1)由等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠DAB=∠CAE,AB=AC,AD=AE,即可證△ADB≌△AEC,可得BD=CE;
(2)過點C作CG//BP,交EF的延長線于點G,由等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)可得CG=BD,∠BDG=∠G,∠BFD=∠GFC,可證△BFD≌△CFG,可得結(jié)論;
(3)由題意可證點A,點F,點C,點E四點在以AC為直徑的圓上,由直徑是圓的最大弦可得EF的最大值.
證明:(1)∵將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE
∴AD=AE,∠DAE=60°
∴△ADE是等邊三角形
∵△ABC為等邊三角形
∴AB=AC, ∠BAC=∠DAE=60°
∴∠DAB=∠CAE,且AB=AC,AD=AE
∴△ADB≌△AEC(SAS)
∴BD=CE
(2)如圖,過點C作CG∥BP,交EF的延長線于點G
∵∠ADB=90°, ∠ADE=60°
∴∠BDG=30°
∵CG∥BP
∴∠G=∠BDG=30°
∵△ADB≌△AEC
∴BD=CE,∠ADB=∠AEC=90°
∴∠GEC=∠AEC﹣∠AED=30°
∴∠G=∠GEC=30°
∴GC=CE
∴CG=BD,且∠BDG=∠G, ∠BFD=∠GFC
∴△BFD≌△CFG(AAS)
∴BF=FC
∴點F是BC中點
(3)如圖,連接AF,
∵△ABC是等邊三角形,BF=FC
∴AF⊥BC
∴∠AFC=90°
∴∠AFC=∠AEC=90°
∴點A,點F,點C,點E四點在以AC為直徑的圓上
∴EF最大為直徑,
即最大值為1
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【題目】綜合與實踐:
閱讀理解:數(shù)學(xué)興趣小組在探究如何求的值,經(jīng)過思考、討論、交流,得到以下思路:
如圖1,作,使,,延長至點,使,連接.
設(shè),則,..
請解決下列問題:
(1)類比求解:求出的值;
(2)問題解決:如圖2,某住宅樓的后面有一建筑物,當光線與地面的夾角是時,住宅在建筑物的墻上留下高的影子;而當光線與地面的夾角是時,住宅樓頂在地面上的影子與墻角有的距離(,,在一條直線上).求住宅樓的高度(結(jié)果保留根號);
(3)探究發(fā)現(xiàn):如圖3,小明用硬紙片做了兩個直角三角形,在中,,,;在中,,,.他將的斜邊與的斜邊重合在一起,并將沿方向移動.在移動過程中,,兩點始終在邊上(移動開始時點與點重合).探究在移動過程中,是否存在某個位置,使得?如果存在,直接寫出的長度;如果不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,A、B兩地之間有一座山,汽車原來從A地到B地經(jīng)過C地沿折線A→C→B行駛,現(xiàn)開通隧道后,汽車直接沿直線AB行駛.已知AC=10千米,∠A=30°,∠B=45°.則隧道開通后,汽車從A地到B地比原來少走多少千米?(結(jié)果保留根號)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如果一個自然數(shù)從高位到個位是由一個數(shù)字或幾個數(shù)字重復(fù)出現(xiàn)組成的,那么我們把這樣的自然數(shù)叫做循環(huán)數(shù),重復(fù)的一個或幾個數(shù)字稱為“循環(huán)節(jié)”,我們把“循環(huán)節(jié)”的數(shù)字個數(shù)叫做循環(huán)節(jié)的階數(shù).例如:525252,它由“52”依次重復(fù)出現(xiàn)組成,所以525252是循環(huán)數(shù),它是2階6位循環(huán)數(shù).再如:77,是1階2位循環(huán)數(shù),135135135是3階9位循環(huán)數(shù).
(1)請直接寫出1個2階4位循環(huán)數(shù) ,并證明對于任意一個2階4位循環(huán)數(shù),若交換其循環(huán)節(jié)的數(shù)字得到一個新的4位數(shù),則該新數(shù)和原數(shù)的差能夠被9整除.
(2)已知一個能被9整除的2階4位數(shù).設(shè)循環(huán)節(jié)為ab,且滿足a﹣2b為非負偶數(shù),求這個4位循環(huán)數(shù).
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【題目】已知拋物線y=(m﹣2)x2+2mx+m+3與x軸有兩個交點.
(1)求m的取值范圍;
(2)當m取滿足條件的最大整數(shù)時,求拋物線與x軸有兩個交點的坐標.
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【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象與y軸交于點C,點B是點C關(guān)于該二次函數(shù)圖象的對稱軸對稱的點.已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過該二次函數(shù)圖象上點及點B.
(1)求B點坐標與二次函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)圖象,寫出滿足的x的取值范圍.
(3)求線段的長度.
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【題目】已知拋物線的對稱軸為,與軸的一個交點在和之間,其部分圖像如圖所示,則下列結(jié)論:①點,,是該拋物線上的點,則;②;③(為任意實數(shù)).其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦DE垂直平分半徑OA,C為垂足,弦DF與半徑OB相交于點P,連結(jié)EF、EO,若DE=,∠DPA=45°.
(1)求⊙O的半徑;
(2)求圖中陰影部分的面積.
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