Question

【題目】如圖所示，已知⊙O的半徑為2，弦BC的長為，點(diǎn)A為弦BC所對優(yōu)弧上任意一點(diǎn)(B、C兩點(diǎn)除外) (參考數(shù)據(jù)：，，．

(1)求∠BAC的度數(shù)；

(2)求△ABC面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）

【解析】

（1）連接BO并延長交⊙O于點(diǎn)D，連接CD，得到∠DCB＝90°，BD＝4，再解直角三角形即可解答.

（2）因?yàn)?/span>△ABC的邊BC的長不變，所以當(dāng)BC邊上的高最大時，△ABC的面積最大，此時點(diǎn)A應(yīng)落在優(yōu)弧BC的中點(diǎn)處，過OE⊥BC于點(diǎn)E，延長EO交 O于點(diǎn)A，則A為優(yōu)弧BC的中點(diǎn)，連接AB，AC，則AB=AC，由圓周角定理可求出∠BAE的度數(shù)，在Rt△ABE中，利用銳角三角函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)值可求出AE的長，由三角形的面積公式即可解答．

(1)連接BO并延長交⊙O于點(diǎn)D，連接CD．

∵ BD是直徑，∴ BD＝4，∠DCB＝90°．

在Rt△DBC中，，

∴ ∠BDC＝60°，∴ ∠BAC＝∠BDC＝60°．

(2)因?yàn)?/span>△ABC的邊BC的長不變，所以當(dāng)BC邊上的高最大時，△ABC的面積最大，此時點(diǎn)A應(yīng)落在優(yōu)弧BC的中點(diǎn)處．

過O作OE⊥BC于點(diǎn)E，延長EO交⊙O于點(diǎn)A，則A為優(yōu)孤BC的中點(diǎn)．連結(jié)AB，AC，

則AB＝AC，∠BAE∠BAC＝30°．

在Rt△ABE中，

∵ BE，∠BAE＝30°，

∴ ，

∴ ．

答：△ABC面積的最大值是．