Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）是圖形W上的任意兩點(diǎn). 定義圖形W的測(cè)度面積：若|x1-x2|的最大值為m，|y1-y2|的最大值為n，則S=mn為圖形W的測(cè)度面積. 例如，若圖形W是半徑為l的⊙O. 當(dāng)P，Q分別是⊙O與x軸的交點(diǎn)時(shí)，如圖1，|x1-x2|取得最大值，且最大值m=2；當(dāng)P，Q分別是⊙O與y軸的交點(diǎn)時(shí)，如圖2，|y1-y2|取得最大值，且最大值n=2. 則圖形W的測(cè)度而積S=mn=4.

（1）若圖形W是拋物線y=-x2+2x+3和直線y=2x-1圍成的封閉圖形，則它的測(cè)度面積S=______

（2）若圖形W是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD.

①當(dāng)A，B兩點(diǎn)均在x軸上時(shí)，它的測(cè)度面積S=_________；

②此圖形測(cè)度面積S的最大值為_________；

（3）若圖形W是一個(gè)邊長(zhǎng)分別為3和6的矩形ABCD，求它的測(cè)度面積S的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）36；（2）①1； ②2；（3）測(cè)度面積S的取值范圍是18≤S≤.

【解析】試題分析：（1）先求出拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)定義進(jìn)行計(jì)算即可得；

（2）①根據(jù)給出的定義可以求出來(lái)；

②根據(jù)定義可以求出測(cè)度面積的最大值為2；

（3）因?yàn)槠揭茍D形W不會(huì)改變其測(cè)度面積S的大小，將矩形ABCD的其中一個(gè)頂點(diǎn)B平移至x軸上，注意分三種情況討論.

試題解析：（1）解方程組得： ， ，

拋物線y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，

根據(jù)定義可知圖形W中|x1-x2|的最大值為4，|y1-y2|的最大值為9，則S=4×9=36，

故答案為：36；

（2）①當(dāng)A、B都在x軸上時(shí)，如圖所示，橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值的最大值為1，縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值的最大值為1，根據(jù)定義可知圖形的測(cè)度面積為1，

故答案為：1；

②如圖所示擺放時(shí)，圖形的測(cè)度面積最大，

此時(shí)橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值的最大值為，縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值的最大值為，根據(jù)定義可知圖形的測(cè)度面積為2，

故答案為2；

（3）不妨設(shè)矩形ABCD的邊AB=6，BC=3. 由已知可得，平移圖形W不會(huì)改變其測(cè)度面積S的大小，將矩形ABCD的其中一個(gè)頂點(diǎn)B平移至x軸上. 當(dāng)頂點(diǎn)A，B或B，C都在x軸上時(shí)，如圖1和圖2，矩形ABCD的測(cè)度面積S就是矩形ABCD的面積，此時(shí)S=18.

當(dāng)頂點(diǎn)A，C都不在x軸上時(shí)，如圖3.

過(guò)A作直線AE⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)C作直線CF⊥x軸于點(diǎn)F，過(guò)D作直線GH∥x軸，與直線AE，CF分別交于點(diǎn)H和點(diǎn)G，則可得四邊形EFGH是矩形.

當(dāng)點(diǎn)P，Q分別與點(diǎn)A，C重合時(shí)，|x1-x2|取得最大值m，且最大值m=EF；

當(dāng)點(diǎn)P，Q分別與點(diǎn)B，D重合時(shí)，|y1-y2|取得最大值n，且最大值n=GF.

∴圖形W的測(cè)度面積S=EF·GF.

∵∠ABC=90°，

∴∠ABE+∠CBF=90°.

∵∠AEB=90°，

∴∠ABE+∠BAE=90°.

∴∠BAE=∠CBF.

又∵∠AEB=∠BFC=90°，

∴△ABE∽△BCF.

∴.

設(shè)AE=2a，EB=2b（a>0，b>0），則BF=a，FC=b，

在Rt△ABE中，由勾股定理得AE2+BE2=AB2.

∴4a2+4b2=36. 即a2+b2=9.

∵b>0，∴b=

易證△ABE≌△CDG. ∴CG=AE=2a.

∴EF=EB+BF=2b+a，GF=FC+CG=b+2a.

∴S=EF·GF=（2b+a）（b+2a）=2a2+2b2+5ab=18+5a

=18+5=18+5=18+5

∴當(dāng)a2=，即a=時(shí)，測(cè)度面積S取得最大值18+5×=.

∵a>0，b>0，∴ . ∴S>18.

∴當(dāng)頂點(diǎn)A，C都不在x軸上時(shí)，S的范圍為l8<S≤.

綜上所述，測(cè)度面積S的取值范圍是18≤S≤.