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【題目】以坐標原點為圓心,1為半徑的圓分別交x,y軸的正半軸于點A,B.

(1)如圖一,動點P從點A處出發(fā),沿x軸向右勻速運動,與此同時,動點Q從點B處出發(fā),沿圓周按順時針方向勻速運動.若點Q的運動速度比點P的運動速度慢,經過1秒后點P運動到點(2,0),此時PQ恰好是⊙O的切線,連接OQ.求∠QOP的大小;
(2)若點Q按照(1)中的方向和速度繼續(xù)運動,點P停留在點(2,0)處不動,求點Q再經過5秒后直線PQ被⊙O截得的弦長.

【答案】
(1)解:如圖一,連接AQ.

由題意可知:OQ=OA=1.

∵OP=2,

∴A為OP的中點.

∵PQ與⊙O相切于點Q,

∴△OQP為直角三角形.

即△OAQ為等邊三角形.

∴∠QOP=60°.


(2)解:由(1)可知點Q運動1秒時經過的弧長所對的圓心角為30°,若Q按照(1)中的方向和速度繼續(xù)運動,那么再過5秒,則Q點落在⊙O與y軸負半軸的交點處(如圖二).設直線PQ與⊙O的另外一個交點為D,

過O作OC⊥QD于點C,則C為QD的中點.

∵∠QOP=90°,OQ=1,OP=2,

∴QP=

,

∴OC= =

∵OC⊥QD,OQ=1,OC= ,

∴QC= =

∴QD=


【解析】(1)根據切線性質定理,以及OQ與OP之間的關系,可得出∠QOP的度數;(2)根據垂徑定理及勾股定理解決本題即可.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解勾股定理的概念的相關知識,掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2,以及對切線的性質定理的理解,了解切線的性質:1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑.

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