Question

【題目】如圖，點(diǎn)P、Q分別是邊長(zhǎng)為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)(端點(diǎn)除外)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，連接AQ、CP交于點(diǎn)M，則在P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，

（1）求證：△ABQ ≌ △CAP；

（2）∠CMQ的大小變化嗎？若變化，則說(shuō)明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；

（3）連接PQ,當(dāng)點(diǎn)P,Q運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，△PBQ是直角三角形？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）無(wú)變化，∠CMQ=60 ；（3）t=s或s時(shí), △PBQ是直角三角形.

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理證明；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BAQ=∠ACP，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)解答；
（3）分∠PQB=90°和∠PBQ=90°兩種情況，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．

（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABQ=∠CAP=60°，AB=CA，
∵點(diǎn)P、Q的速度相同，
∴AP=BQ，
在△ABQ和△CAP中，

∴△ABQ≌△CAP；
（2）解：∠CMQ的大小不發(fā)生變化，理由如下：
∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠QMC=∠QAC+∠ACP=∠QAC+∠BAQ=60°；
（3）解：設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)x秒時(shí)，△PBQ是直角三角形，
則AP=BQ=x，PB=（4-x），
當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，
∵∠B=60°，
∴BP=2BQ，即4-x=2x，
解得，x=，
當(dāng)∠PBQ=90°時(shí)，
∵∠B=60°，
∴BQ=2BP，即2（4-x）=x，
解得，x=，
∴當(dāng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)秒或秒時(shí)，△PBQ是直角三角形．