Question

【題目】圖①是一個(gè)三角形，分別連接這個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)得到圖②，再分別連接圖②中間小三角形三邊的中點(diǎn)，得到圖③.

(1)圖②有______個(gè)三角形；圖③有______個(gè)三角形；

(2)按上面的方法繼續(xù)下去，第n個(gè)圖形中有_________個(gè)三角形(用n的代數(shù)式表示).

(3)是否存在正整數(shù)n，使得第n個(gè)圖形中存在2019個(gè)三角形?如果存在，請(qǐng)求出n的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】（1）5，9；（2）4n﹣3；（3）不存在，理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)圖形的變化可發(fā)現(xiàn)每個(gè)圖形比前一個(gè)圖形多4個(gè)三角形，結(jié)合圖①有一個(gè)三角形即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)圖形的變化可發(fā)現(xiàn)每個(gè)圖形比前一個(gè)圖形多4個(gè)三角形，而圖形①只有一個(gè)三角形，用含n的代數(shù)式表示出結(jié)論即可；（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，令三角形的個(gè)數(shù)等于2019，看n的值是否為整數(shù)，是的話則第n個(gè)圖形就是所求，如果不是，則不存在．

解：（1）圖②中有5個(gè)三角形，圖③中有9個(gè)三角形．

故答案為：5，9；

（2）依題意得：n＝1時(shí)，有1個(gè)三角形；

n＝2時(shí)，有5個(gè)三角形；

n＝3時(shí)，有9個(gè)三角形；

∴當(dāng)n＝n時(shí)，有（4n﹣3）個(gè)三角形．

故答案為：4n﹣3；

（3）不存在

假設(shè)存在正整數(shù)n，

使得第n個(gè)圖形中有2019個(gè)三角形，

根據(jù)題意得：4n﹣3＝2019，

解得：n＝，不是整數(shù)，

故不存在正整數(shù)n，使得第n個(gè)圖形中有2019個(gè)三角形