Question

【題目】韋達定理：若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根分別為x1、x2 ， 則x1+x2=﹣ ， x1x2= ， 閱讀下面應(yīng)用韋達定理的過程：
若一元二次方程﹣2x2+4x+1=0的兩根分別為x1、x2 ， 求x12+x22的值．
解：該一元二次方程的△=b2﹣4ac=42﹣4×（﹣2）×1=24＞0
由韋達定理可得，x1+x2=﹣=﹣=2，x1x2===﹣
x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2
=22﹣2×（﹣）
=5
然后解答下列問題：
（1）設(shè)一元二次方程2x2+3x﹣1=0的兩根分別為x1 ， x2 ， 不解方程，求x12+x22的值；
（2）若關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2+（k2﹣1）x+（k﹣1）2=0的兩根分別為α，β，且α2+β2=4，求k的值．

Answer 1

【答案】解：（1）∵一元二次方程的△=b2﹣4ac=32﹣4×2×（﹣1）=17＞0，
由根與系數(shù)的關(guān)系得：x1+x2=﹣ ， x1x2=﹣ ，
∴+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2==；
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系知：=﹣k﹣1，αβ==k﹣1，
α2+β2=（（α+β）2﹣2αβ=（k+1）2﹣2（k﹣1）=k2+3
∴k2+3=4，
∴k=±1，
∵k﹣1≠0
∴k≠1，
∴k=﹣1，
將k=﹣1代入原方程：﹣2x2+4=0，
△=32＞0，
∴k=﹣1成立，
∴k的值為﹣1．
【解析】（1）先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=﹣ ， x1x2=﹣ ， 再利用完全平方公式變形得到x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2 ， 然后利用整體代入的方法計算即可；
（2）根據(jù)一元二次方程（k﹣1）x2+（k2﹣1）x+（k﹣1）2=0的兩根分別為α，β，求出兩根之積和兩根之和的關(guān)于k的表達式，再將α2+β2=4變形，將表達式代入變形后的等式，解方程即可．
【考點精析】掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解答本題的根本，需要知道一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商．