Question

（2012•黃岡模擬）某公司生產(chǎn)一種健身自行車在市場(chǎng)上受到普遍歡迎，在國(guó)內(nèi)市場(chǎng)和國(guó)外市場(chǎng)暢銷，生產(chǎn)的產(chǎn)品可以全部出售，該公司的年生產(chǎn)能力為10萬(wàn)輛，在國(guó)內(nèi)市場(chǎng)每輛的利潤(rùn)y₁（元）與其銷量x（萬(wàn)輛）的關(guān)系如圖所示；在國(guó)外市場(chǎng)每輛的利潤(rùn)y₂（元）與其銷量x（萬(wàn)輛）的關(guān)系為：y₂=

-30x+320(0≤x≤6) 180(6≤x≤10)

．
（1）求國(guó)內(nèi)市場(chǎng)的銷售總利潤(rùn)z₁（萬(wàn)元）與其銷量x（萬(wàn)輛）之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍．
（2）求國(guó)外市場(chǎng)的銷售總利潤(rùn)z₂（萬(wàn)元）與國(guó)內(nèi)市場(chǎng)的銷量x（萬(wàn)輛）之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍．
（3）求該公司每年的總利潤(rùn)w（萬(wàn)元）與國(guó)內(nèi)市場(chǎng)的銷量x（萬(wàn)輛）之間的函數(shù)關(guān)系式？并幫助該公司確定國(guó)內(nèi)、國(guó)外市場(chǎng)的銷量各為多少萬(wàn)輛時(shí)，該公司的年利潤(rùn)最大？

Answer 1

分析：（1）由圖象可知：此函數(shù)為分段函數(shù)，當(dāng)0≤x≤4時(shí)，圖象為平行于x軸的線段；當(dāng)4≤x≤10時(shí)，圖象為一次函數(shù)的一段，設(shè)此時(shí)解析式為y=kx+b（k≠0），將（4，400）和（10，160）代入求出k與b的值，綜上確定出y₁與其銷量x的關(guān)系式，根據(jù)總利潤(rùn)=每輛的利潤(rùn)×銷量，即可列出z₁與其銷量x的函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)國(guó)外市場(chǎng)每輛的利潤(rùn)y₂與其銷量x的關(guān)系，利用總利潤(rùn)=每輛的利潤(rùn)×銷量，即可列出z₂與其銷量x的函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)總利潤(rùn)=國(guó)內(nèi)的利潤(rùn)+國(guó)外的利潤(rùn)，即w=z₁+z₂，列出w關(guān)于x的關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)分別求出x不同取值范圍時(shí)函數(shù)的最大值，比較大小即可得到公司年利潤(rùn)最大時(shí)國(guó)內(nèi)的銷量與國(guó)外市場(chǎng)銷量．

解答：解：（1）由圖知：y₁=

400(0≤x≤4) 560-40x(4≤x≤10)

，
則z₁=xy₁=

400x(0≤x≤4) 560x-40x2(4≤x≤10)

；
（2）該公司的年生產(chǎn)能力為10萬(wàn)輛，若在國(guó)內(nèi)市場(chǎng)銷售x萬(wàn)輛，則在國(guó)外市場(chǎng)銷售（10-x）萬(wàn)輛，
則z₂=xy₂=（10-x）y₂=

(10-x)[-30(10-x)+320](0≤10-x≤6) 180(10-x)(6≤10-x≤10)

=

-30(10-x)2+320(10-x)(0≤10-x≤6) 180(10-x)(6≤10-x≤10)

=

-30x2+280x+200(4≤x≤10) -180x+1800(0≤x≤4)

；
（3）設(shè)該公司每年的總利潤(rùn)為w（萬(wàn)元），則
w=z₁+z₂=

220x+1800(0≤x≤4) -70x2+840x+200(4≤x≤10)

=

220x+1800(0≤x≤4) -70(x-6)2+2720(4≤x≤10)

，
當(dāng)0≤x≤4時(shí)，w隨x的增大而增大，當(dāng)x=4時(shí)，w取最大值，此時(shí)w=2680，
當(dāng)4≤x≤10時(shí)，當(dāng)x=6時(shí)，w取最大值，此時(shí)w=2720，
所以綜合得：當(dāng)x=6時(shí)，w的最大值為2720，
此時(shí)，國(guó)內(nèi)的銷量為6萬(wàn)輛，國(guó)外市場(chǎng)銷量為4萬(wàn)輛，年利潤(rùn)最大為2720萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，涉及的知識(shí)有：一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分段函數(shù)，以及待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，是一道綜合性較強(qiáng)的應(yīng)用題．