【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=x+1與拋物線y=x2+bx+c交于A,B(4,5)兩點,點A在x軸上.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點E是線段AB上一動點(點A,B除外),過點E作x軸的垂線交拋物線于點F,當(dāng)線段EF的長度最大時,求點E的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,拋物線上是否存在一點P,使∠PEF=90°?若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
【答案】(1)拋物線的解析式為y=x2-2x-3;(2)E(,);點P的坐標(biāo)為(1-,)或(1+,).
【解析】
(1)先求得點A的坐標(biāo),然后將點A和點B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可得到關(guān)于b、c的方程組,從而可求得b、c的值;
(2)設(shè)點E的坐標(biāo)為(x,x+1),則點F的坐標(biāo)為F(x,x2-2x-3),則可得到EF與x的函數(shù)關(guān)系式,利用配方法可求得EF的最大值以及點E的坐標(biāo);
(3)過點E作PE⊥EF,交拋物線與點P或點P′,則yp=,將y=代入拋物線的解析式得:x2-2x-3=,然后可求得點P的橫坐標(biāo).
(1)把y=0代入y=x+1得:x+1=0,解得:x=-1,
∴點A(-1,0).
將點A和點B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得:
,
解得:b=-2,c=-3.
∴拋物線的解析式為y=x2-2x-3.
(2)如圖1所示:
設(shè)點E的坐標(biāo)為(x,x+1),則點F的坐標(biāo)為F(x,x2-2x-3).
設(shè)EF=(x+1)-(x2-2x-3)=-x2+3x+4=-(x-)2+.
∴當(dāng)x=時,EF有最大值.
將x=代入y=x+1得:y=.
∴E(,).
(3)如圖2所示:過點E作PE⊥EF,交拋物線與點P或點P′,則yp=.
將y=代入拋物線的解析式得:x2-2x-3=,解得:x=1+,x=1-.
∴點P的坐標(biāo)為(1-,)或(1+,).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點A,對點A作如下變換:
第一步:作點A關(guān)于x軸的對稱點A1;第二步:以O為位似中心,作線段OA1的位似圖形OA2,且相似比=q,則稱A2是點A的對稱位似點.
(1)若A(2,3),q=2,直接寫出點A的對稱位似點的坐標(biāo);
(2)已知直線l:y=kx-2,拋物線C:y=-x2+mx-2(m>0).點N(,2k-2)在直線l上.
①當(dāng)k=時,判斷E(1,-1)是否是點N的對稱位似點,請說明理由;
②若直線l與拋物線C交于點M(x1,y1)(x1≠0),且點M不是拋物線的頂點,則點M的對稱位似點是否可能仍在拋物線C上?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點,其中A點坐標(biāo)為,點,另拋物線經(jīng)過點,M為它的頂點.
求拋物線的解析式;
求的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著2019年全國兩會的隆重召開,中學(xué)生對時事新聞的關(guān)注空前高漲,某校為了解中學(xué)生對時事新聞的關(guān)注情況,組織全校九年級學(xué)生開展“時事新聞大比拼”比賽,隨機(jī)抽取九年級的25名學(xué)生的成績(滿分為100分)整理統(tǒng)計如下:收集數(shù)據(jù) 25名學(xué)生的成績(滿分為100分)統(tǒng)計如下(單位:分)
90 ,74 ,88 ,65 ,98 ,75 , 81 ,44 ,85 ,70 ,55 , 80 , 95 ,88 ,72 ,87 , 60 ,56 ,76 ,66 ,78 ,72 ,82 ,63 ,100
整理數(shù)據(jù):按如下分組整理樣本數(shù)據(jù)并補全表格:
成績(分) | 90≤≤100 | 75≤90 | 60≤75 | <60 |
人數(shù) | 10 | 8 |
分析數(shù)據(jù) 補充完成下面的統(tǒng)計分析表:
平均數(shù) | 中位數(shù) | 方差 |
76 | 190. 88 |
得出結(jié)論:
(1)若全校九年級有1000名學(xué)生,請估計全校九年級有多少學(xué)生成績達(dá)到90分及以上;
(2)若八年級的平均數(shù)為76分,中位數(shù)為80分,方差為102. 5,請你分別從平均數(shù)、中位數(shù)和方差三個方面做出評價,你認(rèn)為哪個年級的成績較好?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】當(dāng)當(dāng)和叮叮玩紙牌游戲:如圖是同一副撲克牌中的4張黑桃牌的正面,將這4張牌正面朝下洗勻后放在桌上,當(dāng)當(dāng)先從中抽出一張,叮叮從剩余的3張牌中也抽出一張,比較兩人抽出的牌面上的數(shù)字,數(shù)字大者獲勝.
(1)求當(dāng)當(dāng)抽出的牌面上的數(shù)字為6的概率;
(2)該游戲是否公平?請用畫樹狀圖或列表的方法說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知⊙O為Rt△ABC的內(nèi)切圓,切點分別為D,E,F,且∠C=90°,AB=13,BC=12.
(1)求BF的長;
(2)求⊙O的半徑r.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有四張背面完全相同的A,B,C,D四張卡片,其正面分別畫有四種不同是圖形:正三角形、正方形、平行四邊形、圓,現(xiàn)將四張卡片背面向上后洗均勻.
(1)從中任意摸出一張卡片,求摸到的卡片上畫有軸對稱圖形的概率;
(2)從中任意摸出兩張卡片,求兩次摸到的卡片上所畫圖形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,過AB邊上點D作DG∥BC,交AC于點G,在GD的延長線上取點E,使ED=CG,連接AE,CD.
(1)求證:AE=DC;
(2)過E作EF∥DC,交BC于點F,求證:∠AEF=∠ACB.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知CE是圓O的直徑,點B在圓O上由點E順時針向點C運動(點B不與點E、C重合),弦BD交CE于點F,且BD=BC,過點B作弦CD的平行線與CE的延長線交于點A.
(1)若圓O的半徑為2,且點D為弧EC的中點時,求圓心O到弦CD的距離;
(2)當(dāng)DFDB=CD2時,求∠CBD的大;
(3)若AB=2AE,且CD=12,求△BCD的面積.
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