Question

已知：如圖，拋物線y=

3

3

(x2-4x+a)與x軸交于A、B兩點（A在B的左側），與y軸交于點C(0，

3

)．
（1）直接寫出a的值；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得⊙P與y軸和直線BC同時相切？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由；
（3）把拋物線沿x軸向右平移m（m＞0）個單位，所得拋物線與x軸交于A′、B′兩點，與原拋物線交于點M，當△MA′B′的面積為

3

6

時，求m的值．

Answer 1

分析：（1）把C的坐標代入函數解析式即可求得a的值；
（2）首先求得拋物線的對稱軸是x=2，⊙P與y軸和直線BC同時相切，則圓心到直線的距離等于2，然后分P在x軸上方與x軸下方兩種情況進行討論，利用三角函數即可求解；
（3）根據平移的性質可得：A′B′=AB=2，作MN⊥x軸，垂足為N，根據△MA′B′的計算方法，即可求得m的值．

解答：解：（1）a=3（3分）

（2）拋物線的對稱軸為直線x=2，拋物線與x軸的交點為H　A（1，0）B（3，0）（4分）
設P（2，y）作PD⊥BC，垂足為D，作PE⊥y軸，垂足為E，則PD=PE=2
∴當P在x軸上方時
∵tan∠CBO=

OC

OB

=

3

3

∴∠CBO=30°（5分）　　GH=

3

3

∴∠PGD=60°
∴PG=y-

3

3

=

PD

sin60°

=

4 3

3

PH=

5 3

3

（6分）
當P在x軸下方時PH=

3

（7分）
∴P的坐標為（2，

5 3

3

）或（2，-

3

）　　（8分）

（3）作MN⊥x軸，垂足為N　由平移可知，A′B′=AB=2
∵△MA′B′的面積為

3

6

∴MN=

3

6

（9分）
當y=

3

6

時，

3

3

x2-

4 3

3

x+

3

=

3

6

（10分）
∴x=

4± 6

2

∴m=

4+ 6

2

-

4- 6

2

=

6

（11分）
當y=-

3

6

時，

3

3

x2-

4 3

3

x+

3

=-

3

6

（12分）
∴x=

4± 2

2

∴m=

4+ 2

2

-

4- 2

2

=

2

（13分）
∴m的值為

6

或

2

點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和三角形的面積求法．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．