【題目】如圖,拋物線y=x2﹣bx+c過點(diǎn)B(3,0),C(0,﹣3),D為拋物線的頂點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式以及頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)點(diǎn)C關(guān)于拋物線y=x2﹣bx+c對稱軸的對稱點(diǎn)為E點(diǎn),連接BC,BE,求∠CBE的正切值;
(3)在(2)的條件下,點(diǎn)M是拋物線對稱軸上且在CE上方的一點(diǎn),是否存在點(diǎn)M使△DMB和△BCE相似?若存在,求點(diǎn)M坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:設(shè)拋物線的解析式為y=(x+3)(x+n),將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得:3n=﹣3,解得n=﹣1.
∴拋物線的解析式為y=(x+3)(x﹣1)即y=x2﹣2x﹣3.
∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴D(1,﹣4)
(2)
解:如圖1所示:過點(diǎn)E作ED⊥BC,垂足為D.
∵B(3,0),C(0,﹣3),
∴OC=OB=3.
∴∠OCB=∠OBC=45°,BC=3
∵點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,
∴CE⊥OC,
∴∠DCE=45°.
∵ED⊥CD,
∴△DEB為等腰直角三角形.
∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴拋物線的對稱軸為x=1.
∴CE=2.
∴CD=ED= .
∴BD=BC﹣CD=2 .
∴tan∠CBE= =
(3)
解:如圖2所示:
∵B(3,0),D(﹣1,﹣4),
∴A(﹣1,0),F(xiàn)(1,0).
∴FB=2,DF=4.
∴tan∠FDB= .
∴tan∠FDB=tan∠CBE.
∴∠FDB=∠CBE.
∴當(dāng) = 時(shí),△BCE∽△DBM.
∴ = ,解得:MD= .
∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)=﹣4+ =﹣ .
∴M(1,﹣ ).
如圖3所示:
∵∠FDB=∠CBE,
∴當(dāng)∠BMD=∠BCE=45°時(shí),△DMB∽△BCE.
∴FM=FB=2.
∴M(1,2).
綜上所述,當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,﹣ )或(1,2)時(shí),△DMB和△BCE相似
【解析】(1)設(shè)拋物線的解析式為y=(x+3)(x+n),將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入可求得n的值,則可得到拋物線的解析式,然后利用配方法可求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo);(2)過點(diǎn)E作ED⊥BC,垂足為D.由題意可得到△OBC和△CDE均為等腰直角三角形,然后求得CE、BC、DE的長,最后利用銳角三角函數(shù)的定義求解即可;(3)先證明tan∠FDB=tan∠CBE,從而得到∠FDB=∠CBE,當(dāng) = 或當(dāng)∠BMD=∠BCE=45°時(shí),△DMB和△BCE相似.
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【題目】如圖填空:
(1)∵∠1=∠A(已知),
∴_________(______________________);
(2)∵∠1=∠D(已知),
∴________(________________________);
(3)∵______=∠F(已知),
∴AC∥DF(______________________).
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【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,下列說法: ①2a+b=0;
②當(dāng)﹣1≤x≤3時(shí),y<0;
③若(x1 , y1)、(x2 , y2)在函數(shù)圖象上,當(dāng)x1<x2時(shí),y1<y2
④9a+3b+c=0
其中正確的是( )
A.①②④
B.①②③
C.①④
D.③④
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【題目】如圖,點(diǎn)P在AC上,點(diǎn)Q在AB上,BE平分∠ABP,交AC于E,CF平分∠ACQ,交AB于F,BE、CF相交于G,CQ、BP相交于D,若∠BDC=140°,∠BGC=110°,求∠A的度數(shù).
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【題目】如圖,C是線段AB的中點(diǎn),CD平分∠ACE,CE平分∠BCD,CD=CE.
(1)求證:△ACD≌△BCE;
(2)若∠D=53°,求∠B的度數(shù).
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【題目】已知:如圖,BD為△ABC的角平分線,且BD=BC,E為BD延長線上的一點(diǎn),BE=BA,過E作EF⊥AB,F(xiàn)為垂足,下列結(jié)論:①△ABD≌△EBC;②∠BCE+∠BCD=180°;③AD=EF=EC;④BA+BC=2BF,其中正確的結(jié)論有________(填序號).
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【題目】如圖,已知點(diǎn)A是雙曲線y= 在第一象限的分支上的一個(gè)動點(diǎn),連結(jié)AO并延長交另一分支于點(diǎn)B,以AB為邊作等邊△ABC,點(diǎn)C在第四象限.隨著點(diǎn)A的運(yùn)動,點(diǎn)C的位置也不斷變化,但點(diǎn)C始終在雙曲線y= (k<0)上運(yùn)動,則k的值是 .
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【題目】如圖,△ABC中,AC=BC,點(diǎn)D在BC上,作∠ADF=∠B,DF交外角∠ACE的平分線CF于點(diǎn)F.
(1)求證:CF∥AB;
(2)若∠CAD=20°,求∠CFD的度數(shù).
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