【題目】如圖,拋物線y=x2﹣bx+c過點(diǎn)B(3,0),C(0,﹣3),D為拋物線的頂點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式以及頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)點(diǎn)C關(guān)于拋物線y=x2﹣bx+c對稱軸的對稱點(diǎn)為E點(diǎn),連接BC,BE,求∠CBE的正切值;
(3)在(2)的條件下,點(diǎn)M是拋物線對稱軸上且在CE上方的一點(diǎn),是否存在點(diǎn)M使△DMB和△BCE相似?若存在,求點(diǎn)M坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:設(shè)拋物線的解析式為y=(x+3)(x+n),將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得:3n=﹣3,解得n=﹣1.

∴拋物線的解析式為y=(x+3)(x﹣1)即y=x2﹣2x﹣3.

∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,

∴D(1,﹣4)


(2)

解:如圖1所示:過點(diǎn)E作ED⊥BC,垂足為D.

∵B(3,0),C(0,﹣3),

∴OC=OB=3.

∴∠OCB=∠OBC=45°,BC=3

∵點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,

∴CE⊥OC,

∴∠DCE=45°.

∵ED⊥CD,

∴△DEB為等腰直角三角形.

∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,

∴拋物線的對稱軸為x=1.

∴CE=2.

∴CD=ED=

∴BD=BC﹣CD=2

∴tan∠CBE= =


(3)

解:如圖2所示:

∵B(3,0),D(﹣1,﹣4),

∴A(﹣1,0),F(xiàn)(1,0).

∴FB=2,DF=4.

∴tan∠FDB=

∴tan∠FDB=tan∠CBE.

∴∠FDB=∠CBE.

∴當(dāng) = 時(shí),△BCE∽△DBM.

= ,解得:MD=

∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)=﹣4+ =﹣

∴M(1,﹣ ).

如圖3所示:

∵∠FDB=∠CBE,

∴當(dāng)∠BMD=∠BCE=45°時(shí),△DMB∽△BCE.

∴FM=FB=2.

∴M(1,2).

綜上所述,當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,﹣ )或(1,2)時(shí),△DMB和△BCE相似


【解析】(1)設(shè)拋物線的解析式為y=(x+3)(x+n),將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入可求得n的值,則可得到拋物線的解析式,然后利用配方法可求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo);(2)過點(diǎn)E作ED⊥BC,垂足為D.由題意可得到△OBC和△CDE均為等腰直角三角形,然后求得CE、BC、DE的長,最后利用銳角三角函數(shù)的定義求解即可;(3)先證明tan∠FDB=tan∠CBE,從而得到∠FDB=∠CBE,當(dāng) = 或當(dāng)∠BMD=∠BCE=45°時(shí),△DMB和△BCE相似.

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(1)∵∠1=∠A(已知),

_______________________________

(2)∵∠1=∠D(已知),

________________________________

(3)∵______=∠F(已知),

ACDF______________________

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②當(dāng)﹣1≤x≤3時(shí),y<0;
③若(x1 , y1)、(x2 , y2)在函數(shù)圖象上,當(dāng)x1<x2時(shí),y1<y2
④9a+3b+c=0
其中正確的是(

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B.①②③
C.①④
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