Question

【題目】如圖1，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，直線AE：與拋物線相交于另一點E，點D為拋物線的頂點．

（1）求直線BC的解析式及點E的坐標；

（2）如圖2，直線AE上方的拋物線上有一點P，過點P作PF⊥BC于點F，過點P作平行于軸的直線交直線BC于點G，當△PFG周長最大時，在軸上找一點M，在AE上找一點N，使得值最小，請求出此時N點的坐標及的最小值；

（3）在第（2）問的條件下，點R為拋物線對稱軸上的一點，在平面直角坐標系中是否存在點S，使以點N，E，R，S為頂點的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點S的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；E（，）；（2）N（1，0）；最小值為；

（3）S1（，），S2（，），S3（，），S4（，）

【解析】

（1）首先求出B、C兩點坐標，利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式，聯(lián)立方程即可求出點E的坐標.
（2）由△PGF∽△OBC可得：，則，當PG取最大值時，△PFG周長最大，設，進而表示出,根據(jù)二次函數(shù)最值的求法即可求出點P的坐標，作點P關于軸的對稱點P′，將直線AE繞點E逆時針方向旋轉°得直線，且滿足，過點作直線的垂線交于點K，交直線AE于點N，此時最小,求解即可.

（3）分四種情況，分別畫出示意圖，求解即可.

解：（1）由拋物線解析式得B（4，0），C（0，-2），

設直線BC解析式為：，代入B、C坐得：，

∴，，

∴BC解析式為：，

聯(lián)立，

解得；

（2）由△PGF∽△OBC可得：，

∴，

∴當PG取最大值時，△PFG周長最大，

設，

∴，

∴ ，

∵對稱軸為直線a=2，開口向下，

∴當時，PG取得最大值，即△PFG周長最大，此時P（2，），

作點P關于軸的對稱點P′（2，-），

將直線AE繞點E逆時針方向旋轉°得直線，且滿足，

過點作直線的垂線交于點K，交直線AE于點N，

此時最小，

∴直線解析式為，

直線的解析式為，

∴N點坐標為（1，0），

K點坐標為，

∴；

（3），，，．